Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение теплопроводности

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Явление теплопроводности твердых тел состоит в передаче энергии в форме теплоты в неравномерно нагретом теле (без теплового излучения). При этом температура тела T=f(x,y,z,t), изменяется в различных точках тела, где x,y,z – координаты точки, t — время.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Вид функции f устанавливается при помощи решения дифференциального уравнения теплопроводности Фурье, которое для однородного изотропного тела имеет вид:

    \[\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \Delta T+\frac{q_V}{c\rho } \qquad (1)\]

где q_Vколичество теплоты, которое выделяется внутренним источником теплоты в единице объема тела за единицу времени, c – удельная теплоемкость тела, \rhoплотность тела, \Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2} – оператор Лапласа, \alpha— коэффициент теплопроводности (Он характеризует скорость выравнивания температуры в неравномерно нагретом теле). Это уравнение параболического типа.

Для стационарной теплопроводности (\frac{\partial T}{\partial t}=0) уравнение (1) примет вид:

    \[\alpha \Delta T+\frac{q_V}{c\rho }=0 \qquad (2)\]

В отсутствии внутренних источников теплоты (q_V=0):

    \[\Delta T=0\]

В одномерном стационарном случае уравнение Фурье (теплопроводности) можно использовать в следующем виде:

    \[dQ=-\alpha \frac{dT}{dx}dSdt\]

где dQ- количество теплоты, которое переносится за время dt через площадку dS в направлении нормали x к этой площадке в сторону убывания температуры, K- коэффициент теплопроводности.

Решение уравнения теплопроводности

Для решения уравнения теплопроводности должны быть заданы:

1) начальные условия, то есть T(x,y,z,0);

2) граничные (краевые) условия – условия теплообмена на границе тела. Например, известной постановкой краевой задачи, является задача Коши, физический смысл которой состоит в определении температуры среды во все моменты времени t>0, если известно распределение температур при t=0.

Необходимо отметить, что более сложная модель теплопередачи должна учитывать молекулярную структуру вещества, что приводит к задачам статистической физики, гораздо более сложным, чем решение уравнения Фурье.

Рассматриваемое уравнение теплопроводности используется для рассмотрения только в макросистемах и в области низких скоростей, где применимы законы классической ньютоновой физики.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Пусть дан стержень длины l. На концах стержня поддерживается нулевая температура. Необходимо решить уравнение теплопроводности \frac{\partial T}{\partial t}={\alpha }^2\frac{{\partial }^2T}{\partial x^2}; если начальное распределение температуры задано соотношением: T(x, 0)=\varphi (x),\ x\in (0,l)
Уравнение теплопроводности

рис. 1.

Решение Таким образом, задача состоит в нахождении решения уравнения теплопроводности

    \[\frac{\partial T}{\partial t}={\alpha }^2\frac{{\partial }^2T}{\partial x^2}\qquad \qquad (1.1)\]

x\in (0,l), будем считать, что t\in (0,+\infty )

при граничных условиях

    \[\left\{ \begin{array}{l} T\left(o,t\right)=0,\ t\in (0,+\infty )\qquad \qquad (1.2), \\  T(l,t)=0,\ t\in (0,+\infty)\ \qquad (1.3) \end{array} \right\]

и начальном условии

    \[T(x,0)=\varphi (x),\ x\in \left(0,l\right) \qquad (1.4)\]

Согласно методу Фурье ищем частные решения в виде:

    \[T(x,t)=X(x)\cdot A(t)\qquad (1.5) \]

Подставим (5) в (1), получим:

X(x)A'(t)={\alpha }^2A(t)X''(x) или

    \[\frac{A'(t)}{{\alpha }^2A(t)}=\frac{X''(x)\ }{X(x)}=-{\lambda }^2\qquad \qquad (1.6)\]

Получаем два дифференциальных уравнения:

    \[X''(x)+{\lambda }^2x=0;\]

    \[A'(t)+{\lambda }^2{\alpha }^2A(t)=0\]

Пришли к решению задачи Штурма-Лиувиля

    \[\left\{ \begin{array}{l} X''(x)+{\lambda }^2x=0 \\  X(0)=0, \\  X(l)=0 \end{array} \right\]

Эта задача имеет нетривиальное решение при {\lambda }^2=\frac{n^2{\pi }^2}{l^2}, тогда

    \[X_n(x)= \sin \frac{n\pi x}{l}\]

    \[A_n(t)=a_n exp (-({\frac{n\pi \alpha }{l})}^2t)\]

Таким образом, частные решения T_n\left(x,t\right)=X_n(x)\cdot A_n(t)=a_n exp(-({\frac{n\pi \alpha }{l})}^2t) \sin \frac{n\pi x}{l} удовлетворяет уравнению 1.1. и граничным условиям (1.1), (1.2) . Так как уравнение 1.1. линейное и однородное, то в качестве поля температур имеем ряд:

    \[T(x,t)=\sum^{\infty }_{n=1}{a_n exp(-({\frac{n\pi \alpha }{l})}^2t) \sin \frac{n\pi x}{l}}\qquad (1.7)\]

Для нахождения a_n используем начальное условие (1.4), подставим его в (1.7), получим:

    \[T\left(x,0\right)=\varphi (x)=\sum^{\infty }_{n=1}{a_n \sin \frac{n\pi x}{l}}\]

Мы видим, что начальная функция \varphi(x) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. По теореме Стеклова такое разложение возможно для функций, удовлетворяющих граничным условиям и имеющих непрерывные производные второго порядка. Соответственно, коэффициенты a_n находят по формуле:

    \[a_n=\frac{2}{l}\int^l_0{\varphi (x) \sin \frac{n \pi x}{l}dx}\]

Ответ Решение уравнения теплопроводности при заданных условиях имеет вид:

    \[T(x,t)=\sum^{\infty }_{n=1}{a_n exp(-({\frac{n\pi \alpha }{l})}^2t) \sin \frac{n\pi x}{l}}\]

где a_n=\frac{2}{l}\int^l_0{\varphi (x) \sin \frac{n\pi x}{l}dx}

ПРИМЕР 2
Задание Решить задачу \frac{\partial U}{\partial t}={\alpha }^2\frac{{\partial }^2U}{\partial x^2}, 0<x<\pi, t>0 (2.1)

при граничных условиях

    \[\left\{ \begin{array}{l} U\left(o,t\right)=0,t\in (0,+\infty )\qquad (2.2) , \\  U(l,t)=0, t\in (0,+\infty )\qquad (2.3) \end{array} \right\]

и начальном условии:

    \[U(x,0)= \sin (\frac{5\pi x}{l}),\ x\in (0,l)\qquad (2.4)\]

Решение Сначала решим задачу Штурма-Лиувилля,

С однородными граничными условиями

    \[{\left.U\right|}_{x=0}={\left.U\right|}_{x=\pi }=0\]

методом разделения переменных. Будем искать частные решения однородного уравнения, удовлетворяющие однородным граничным условиям в виде:

    \[U(x,t)=X(x) \cdot T(t)\qquad (2.5.)\]

Поставим это выражение в исходное уравнение

X(x)T'(t)={\alpha }^2T(t)X''(x) или

    \[\frac{T(t)}{{\alpha }^2T(t)}=\frac{X''(x)\ }{X(x)}=-{\lambda }^2\]

Получим дифференциальные уравнения

Получаем два дифференциальных уравнения:

    \[X''(x)+{\lambda }^2x=0;\]

    \[T'(t)+{\lambda }^2{\alpha }^2T(t)=0\]

Подставим граничные условия

    \[{\left.U\right|}_{x=0}={\left.U\right|}_{x=\pi }=0\]

в выражение (2.5), получим:

    \[X(0) \cdot T(0)=0,\ X(\pi)\cdot T(t)=0\]

Т.к. T(t) тождественно не равны нулю, то

    \[X(0)=0,\ X(\pi )=0\]

Решение задачи Штурма-Лиувилля: собственные значения и соответствующие им собственные функции при l= \pi имеют следующий вид:

    \[{\lambda }_n=n^2,\ X_n(x)= \sin (nx), n=1,...\infty \]

Рассмотрим уравнение T'(t)+{\lambda }^2{\alpha }^2T(t)=0 при \lambda ={\lambda }_n

При {\lambda }_n=n^2 общее решение запишем в виде:

    \[T_n(t)=a_n{\exp {( -{{\lambda }_n\alpha }^2)t}},\ n=0,...\infty \]

На данный момент найдено множество частных решений:

    \[U_n\left(x,t\right)=X_n(x)\cdot T_n(t)=a_n{exp {( -{{\lambda }_n\alpha }^2)t\ }}{\sin \left(nx\right)\ },\ n=1,...\infty \]

А решение всей задачи будем искать в виде функционального ряда:

    \[U(x,t)=\sum^{\infty }_{n=1}{a_n{exp {( -{{\lambda }_n\alpha }^2)t}}{ \sin \left(nx\right)\ }}\qquad (2.6.)\]

Поставим в это решение для определения коэффициентов начальное условие:

    \[U(x,0)={ \sin \left(\frac{5\pi x}{l}\right)\ },\]

    \[\sum^{\infty }_{n=1}{a_n{exp {( -{{\lambda }_n\alpha }^2)0}}{ \sin \left(nx\right)=\ }}\sum^{\infty }_{n=1}{a_n{ \sin \left(nx\right)=\ }}{ \sin \left(\frac{5\pi x}{l}\right)\ }\]

Получаем a_n=1 при n=\frac{5\pi }{l}, при n\ne \frac{5\pi }{l},\ a_n=0.

Подставляем коэффициенты в (2.6)

получим:

    \[U(x,t)={exp {( -{(\frac{5\pi \alpha }{l})}^2t)\ }\ }{ \sin \left(\frac{5\pi x}{l}\right)\ }\]

Ответ Решением уравнения теплопроводности при заданных начальных и граничных условиях является функция U(x,t)= {exp {( -{(\frac{5\pi \alpha }{l})}^2t)}}{ \sin \left(\frac{5\pi x}{l}\right)\ }
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.