Уравнение равномерного движения

Определение и уравнение равномерного движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Движение точки называют равномерным, если модуль ее скорости не зависит от времени ( $v=const$ ). Длина пути $(s)$ , пройденного равномерно движущейся точкой, является линейной функцией времени:

$s=v\left(t-t_0\right) \qquad (1)$

где $t_0$ — начальный момент времени, $t$ – время.

Воспользуемся понятием радиуса вектора точки как характеристики ее положения на траектории.

рис. 1

Радиус — вектор $\overline{r_0}$ задает положение материальной точки в начальный момент времени $t_0$ , а радиус-вектор $\overline{r}$ в момент времени t. $\Delta t=t-t_0,\ \Delta \overline{r}=\overline{r}-\overline{r_0}$ . Выражение для скорости:

$\overline{v}=\frac{\overline{r}-\overline{r_0}}{t-t_0} \qquad (2)$

Если $t_0=0,$ уравнение (2) примет вид:

$\overline{v}=\frac{\overline{r}-\overline{r_0}}{t} \qquad (3)$

$\overline{r}=\overline{r_0}+\overline{v}t\ \qquad (4)$

Уравнение (4) – уравнение равномерного движения материальной точки в векторной форме. Это уравнение позволяет найти радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в любой момент времени, если известна скорость движения точки и первоначальное положение точки, заданное с помощью $\overline{r_0}$ .

Уравнение равномерного движения (4) можно записать в координатной форме (Положение материальной точки в трехмерном пространстве определяется тремя координатами x,y,z):

$x=x_0+v_xt;$

$y=y_0+v_yt; \qquad \qquad (5)$

$z=z_0+v_zt$

где ( $x_0,\ y_0,\ z_0$ ) – координаты начального положения материальной точки, $v_x,\ v_y,\ v_z$ – проекции вектора скорости на соответствующие оси системы координат.

Уравнение равномерного прямолинейного движения

Равномерным прямолинейным движением называется такое прямолинейное движение, при котором материальная точка (тело) движется по прямой и в любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

Существует равномерное движение по окружности. При равномерном движении точки по окружности за любые равные промежутки времени углы поворота $\varphi$ ее радиус-вектора одинаковы. Положение материальной точки в этом случае характеризуется одной единственной координатой: углом поворота $\varphi$ . Следовательно, при таком движении мгновенная угловая скорость равна средней угловой скорости $:w=w_{sr} \omega$ . Угол поворота, вернее $\Delta \varphi =\varphi -\varphi _0$ радиус-вектора точки, равномерно движущейся по окружности, равен:

$\Delta \varphi =w\Delta t\ \qquad \qquad (6)$

Уравнение (6) таким, образом, уравнение равномерного движения материальной точки по окружности.

Угловая скорость может быть выражена через число оборотов в единицу времени n или период обращения T:

$w=2\pi n,$ или $w=\frac{2\pi }{T}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Два пешехода одновременно выходят из точек А и В, расстояние между которыми 10 км и движутся равномерно и прямолинейно по дороге со скоростями 5 км в час и 6 км в час навстречу друг другу. Через какое время они встретятся?

Решение

В этой задаче удобно в качестве системы отсчета выбрать Землю. Направим ось Ox по линии, соединяющей точки А и В, в начало координат поместим точку А (рис. 2)

рис. 2

Отсчет по времени начнем в момент начала движения пешеходов. Тогда уравнения движения пешеходов, которые примем за материальные точки будут иметь вид:

$x_1=x_{01}+v_1t$ и $x_2=x_{02}-v_2t\qquad (1.1)$

где $x_1$ и $x_2$ – координаты пешеходов в произвольный момент времени. $x_{01}=0$ и $x_{02}=l$ – координаты пешеходов в начальный момент времени. В точке C, где пешеходы встретятся координаты будут одинаковы $x_1=x_2$ . Следовательно:

$v_1t=l-v_2t$ откуда:

$t=\frac{l}{v_1+v_2}\qquad (1.2)$

Прежде чем подставлять в формулу (1.2) данные для расчета, необходимо убедиться, что они все в одной системе единиц. Исходя из данных все они в единой системе и в принципе не обязательно переводить их с систему СИ. Подставим данные для расчета времени:

$t=\frac{10\ km}{(5+6)\frac{km}{h}}\approx 0,91\ h$

Ответ

Пешеходы встретятся через 0,91 часа.

ПРИМЕР 2

Задание

С какой скоростью должен двигаться самолет на экваторе с востока на запад, чтобы пассажирам этого самолета Солнце казалось неподвижно стоящим на небе?

Решение

Для того, чтобы пассажирам этого самолета Солнце казалось неподвижно стоящим на небе, самолет должен лететь с той же скоростью с какой точки земной поверхности на экваторе движутся по окружности радиуса Земли (R). Модуль угловой скорости вращения Земли можно вычислить из уравнения равномерного движения по окружности:

$w=\frac{2\pi }{T}\qquad (2.1)$

Но в по условию задачи, нам необходим модуль линейной скорости. Зная связь $v=wR$ имеем: $v=\frac{2\pi R}{T}$ .

Для проведения численного расчета необходимо дополнить данные задачи. Мы знаем, что радиус Земли R=6370 км, время оборота Земли вокруг своей оси T=24 часа. Можно провести расчет не переводя данные в систему Си, так как они (данные) и так в одной системе.

$v=\frac{2\cdot 3,14\cdot 6370}{24}=$ 1667 км/ч

Ответ

Самолет должен лететь со скоростью примерно 1667 км/ч.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Уравнение равномерного движения

Определение и уравнение равномерного движения

Уравнение равномерного прямолинейного движения

Примеры решения задач