Уравнение моментов
Определение и уравнение моментов
Пусть О — какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы (рис. 1) .
рис. 1.
направление выбирается так, чтобы последовательность векторов образовывала правовинтовую систему, т. е. если смотреть вдоль вектора , то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя в (1) ко второму осуществлялся по часовой стрелке, таким образом совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, рукоятка которого вращается от к по наикратчайшему пути.
Моментом нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки:
Момент импульса материальной точки
где — момент инерции, — угловая скорость вращения тела.
Системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:
Производная по времени от момента импульса механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме моментов внешних сил , действующих на систему:
Для материальной точки уравнение моментов записывается:
Уравнение (6) называется уравнением моментов для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в полюсе О уравнение моментов системы записывается в виде:
где — проекции момента импульса на соответствующую ось; — проекции суммарного момента сил на соответствующую ось.
Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:
- найти момент силы ( суммарного момента внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента импульса частицы (системы частиц) относительно той же точки;
- определить приращение момента импульса частицы (системы частиц) относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы (суммарного момента внешних сил), действующей на эту частицу ( систему частиц) относительно той же точки.
Примеры решения задач
Задание | Сравнить угловые скорости, приобретенные материальной точкой под действием вращающих моментов, графики (a,b) которых приведены на рисунках.
рис. 2. |
Решение | В соответствии с уравнением моментов для материальной точки имеем:
где так как мы имеем дело с материальной точкой, соответственно, J не зависит от времени, получаем:
откуда Вспомним геометрический смысл интеграла. Рассчитаем и сравним площади треугольников OAB и OCD.
Площади треугольников равны, соответственно |
Ответ | Угловые скорости, приобретаемые материальной точкой в первом и втором случаях равны. |
Задание | Однородный диск радиусом м и массой кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени задано уравнением . Найти величину касательной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь. |
Решение | Сделаем рисунок
рис. 3 Запишем уравнение моментов:
где — искомая сила. Перепишем (2.2), найдем модуль: — угол между вектором и равен , т.к. сил а- касательная к диску, направлен по радиусу диска в точку касания, следовательно M=RF. Так как имеем дело с телом, которое не изменяет момент инерции в зависимости от времени, то имеем:
где (2.4)- момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр.
, получим:
Подставим численные значения, получим:
|
Ответ | Величина (модуль) касательной силы, приложенной к ободу диска равна 4 Н. |