Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение моментов

Определение и уравнение моментов

Пусть О — какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через \overline{r} радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы \overline{F} (рис. 1) .

Уравнение моментов

рис. 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Моментом силы \overline{F} относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора \overline{r} на силу \overline{F}:

    \[\overline{M}=\overline{r}\times \overline{F} \qquad  \qquad (1)\]

направление \overline{M} выбирается так, чтобы последовательность векторов \overline{r},\overline{F},\overline{M} образовывала правовинтовую систему, т. е. если смотреть вдоль вектора \overline{M}, то поворот по кратчайшему пути от первого сомножителя в (1) ко второму осуществлялся по часовой стрелке, таким образом \overline{M\ } совпадает с направлением поступательного движения правого буравчика, рукоятка которого вращается от \ \overline{r}, к \overline{F} по наикратчайшему пути.

Моментом \overline{M\ } нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точки:

    \[\overline{M}=\sum^n_{i=1}{{\overline{r}}_i\times \overline{F_i}} \qquad  \qquad (2)\]

Момент импульса материальной точки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Моментом импульса материальной точки относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора \overline{r} на импульс \overline{p}:

    \[\overline{L}=\overline{r}\times \overline{p} \qquad  \qquad (3)\]

    \[\overline{L}=J\overline{w} \qquad  \qquad (4)\]

где J— момент инерции, \overline{w}угловая скорость вращения тела.

Системы n материальных точек моментом импульса относительно некоторой точки О называется векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:

    \[\overline{L}=\sum^n_{i=1}{{\overline{r}}_i\times \overline{p_i}} \qquad  \qquad (5)\]

Производная по времени от момента импульса \overline{L} механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме моментов внешних сил {\overline{M}}^{vnesh}, действующих на систему:

    \[\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}^{vnesh} \qquad  \qquad (6)\]

Для материальной точки уравнение моментов записывается:

    \[\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}\]

Уравнение (6) называется уравнением моментов для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

В проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в полюсе О уравнение моментов системы записывается в виде:

    \[\frac{dL_x}{dt}=M^{vnesh}_x,\ \frac{dL_y}{dt}=M^{vnesh}_y,\ \frac{dL_z}{dt}=M^{vnesh}_z \qquad (7)\]

где L_x,L_y,L_z — проекции момента импульса на соответствующую ось; M^{vnesh}_x,M^{vnesh}_y,\ M^{vnesh}_z — проекции суммарного момента сил на соответствующую ось.

Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:

  1. найти момент силы ( суммарного момента внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость от времени момента импульса частицы (системы частиц) относительно той же точки;
  2. определить приращение момента импульса частицы (системы частиц) относительно точки О за любой промежуток времени, если известна зависимость от времени момента силы (суммарного момента внешних сил), действующей на эту частицу ( систему частиц) относительно той же точки.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Сравнить угловые скорости, приобретенные материальной точкой под действием вращающих моментов, графики (a,b) которых приведены на рисунках.
Пример 1, Уравнение моментов

рис. 2.

Решение В соответствии с уравнением моментов для материальной точки имеем:

    \[\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}\]

где \overline{L}=J\overline{w}

так как мы имеем дело с материальной точкой, соответственно, J не зависит от времени, получаем:

    \[M=J\frac{dw}{dt}\]

откуда w=\frac{1}{J}\int{Mdt}

Вспомним геометрический смысл интеграла.

Рассчитаем и сравним площади треугольников OAB и OCD.

    \[S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 20=20;\]

    \[S_{OCD}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4=20\]

Площади треугольников равны, соответственно w_a=w_b

Ответ Угловые скорости, приобретаемые материальной точкой в первом и втором случаях равны.
ПРИМЕР 2
Задание Однородный диск радиусом R=0,2 м и массой m=5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени задано уравнением w=A+8t . Найти величину касательной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь.
Решение Сделаем рисунок
Пример 2, Уравнение моментов

рис. 3

Запишем уравнение моментов:

    \[\frac{d\overline{L}}{dt}={\overline{M}}^{vnesh}\qquad (2.1)\]

где {\overline{M}}^{vnesh}=\overline{R}\times \overline{F}\ \ (2.2),\ \overline{F}— искомая сила. Перепишем (2.2), найдем модуль:

M=RF\sin\alpha,\ \alpha— угол между вектором \overline{r} и \overline{F} равен 90^{\circ}, т.к. сил а- касательная к диску, \overline{r} направлен по радиусу диска в точку касания, следовательно M=RF.

Так как имеем дело с телом, которое не изменяет момент инерции в зависимости от времени, то имеем:

    \[\frac{dL}{dt}=J\frac{dw}{dt},\qquad (2.3)\]

где J=\frac{mR^2}{2} (2.4)- момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр.

    \[\frac{dw}{dt}=\frac{d(A+8t)}{dt}=8\qquad (2.5)\]

RF=\frac{mR^2}{2}\cdot 8, получим:

    \[ F=4mR \]

Подставим численные значения, получим:

    \[F=4\cdot 5\cdot 0,2=4\ (H)\]

Ответ Величина (модуль) касательной силы, приложенной к ободу диска равна 4 Н.