Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение Майера

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение Майера связывает между собой молярную теплоёмкость для идеального газа в изохорном процессе, и молярную теплоёмкость при в изобарном процессе.

Именно в этом простом уравнении заключена физическая суть величины R – универсальной газовой постоянной, равной 8,31 Дж/(моль • К).

Запись уравнения Майера

Уравнение Майера записывают в виде:

    \[ C_{p}-C_{v} = R \]

В нём сp – молярная теплоёмкость при постоянном давлении, а сv соответственно – в условиях постоянного объема.

Молярная теплоемкость указывает, сколько теплоты в Джоулях следует подводить к одному молю газа, чтобы нагреть его на 1 Кельвин. Молярную теплоемкость изохорного процесса можно определить по следующей формуле:

    \[C_{V} =\frac{i}{2R} \]

где i – количество степеней свободы для молекулы газа. С учётом уравнения Майера, получим формулу для расчёта изобарной молярной теплоемкости:

    \[C_{p} =C_{V} +R= \frac{i+2}{2R} \]

Расчеты с использованием уравнения Майера

В практических расчётах часто используют удельную массовую теплоемкость, и как раз она обычно приводится в таблицах теплофизических величин. Умножив молярную теплоёмкость газа на его молярную массу, мы получим удельную массовую теплоемкость:

    \[C_{p}^{m} =C_{p} \cdot M, \]

    \[C_{V}^{m} =C_{V} \cdot M\]

Зачем вообще понадобилось разграничивать изохорную и изобарную теплоемкости?

Уравнение Майера при изобарном процессе

При изобарном процессе (процессе с постоянным давлением) первый закон термодинамики представляется формулой:

    \[dQ =dU+\delta A\]

где dQ — количество теплоты, подведенное к газу, dU=C_{p} \Delta T – изменение внутренней энергии газа, \delta A=p \Delta Vработа расширения, которую совершил газ.

А это значит, что теплота, подведённая к газу в изобарном процессе, будет потрачена на изменение его внутренней энергии и работу по его расширению.

Если же газ закрыть в замкнутом объёме (изохорный процесс), то работа по его расширению выполняться не будет (\delta A=0), и вся подводимая теплота будет потрачена на изменение внутренней энергии:

    \[dQ =dU=C _{V} \Delta T\]

Уравнение Майера при изохорном процессе

Если от первого выражения отнять второе, получим:

    \[C _{p} \Delta T+p \Delta V-C_{V} \Delta T=0,\]

    \[(C_{V} +R)\Delta T+p \Delta V-C_{V} \Delta T=0,\]

    \[-R =\frac{p\Delta V }{\Delta T }\]

Таким образом, газовая постоянная R определяет работу, затраченную на расширение одного моля газа при нагреве его на 1 Кельвин при постоянном давлении.

В основном уравнение Майера используется в теории тепловых машин и теплогидравлике для определения теплофизических характеристик рабочих тел. Однако оно нашло применение и в квантовой физике: постоянная Планка, связывающая энергию кванта света с его частотой, была получена с учётом физического смысла универсальной газовой постоянной.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Молярная изохорная теплоемкость углекислого газа 28,825 Дж/(моль•К). Найти теплоемкость 1 л углекислого газа при постоянном давлении.
Решение Найдём изобарную молярную теплоёмкость по формуле Майера:

C_p = R+ C_v = 28,825 + 8,31= 37,135 Дж/(моль•К)

Зная теплоемкость 1 моля углекислого газа, находим изобарную теплоёмкость 1 л углекислого газа:

C_{p}^{1l} =C_{p} \cdot V_{m} =37,135\cdot 22,4=831,8 Дж/К

Ответ 831,8 Дж/К. Значит, чтобы нагреть 1 литр углекислого газа на 1 Кельвин, нужно затратить 831,8 Дж
ПРИМЕР 2
Задание Газовая смесь состоит из 5 кг диоксида углерода СО2 и 8 кг диазота N2. Изобарные молярные теплоемкости указанных газов при температуре Т=298,15 К равны C_{pCO_2} =37,135 Дж/моль•К, C_{pN_2 } =29,124 Дж/моль•К. Рассчитать удельную массовую изохорную теплоемкость смеси C_{V}, Дж/кг•К.
Пример решения с уравнением Майера
Решение 1) Определим молярные массы каждого из компонентов смеси:

M_{CO _2 } =A_{C} +2\cdot A_{O} =12+2\cdot 16=44 г/моль

M_{N_2 } =2\cdot A_{N} =2\cdot 14=28 г/моль

2) Определим количество вещества каждого из компонентов смеси (в молях):

\nu _{CO _2 } =\frac{m_{CO _2 } }{M_{CO _2 } } =\frac{5000}{44} =113,636 моль

\nu _{N_2 } =\frac{m_{N_2 } }{M_{N_2 } } =\frac{8000}{28} =285,714 моль

3) Вычислим общую изобарную теплоемкость смеси:

    \[ C_{p} =\nu _{CO _2 } \cdot C_{pCO _2 } +\nu _{N_2 } \cdot C_{pN_2 } =113,636 \cdot 37,135+285,714 \cdot 29,124= \]

=12541,016 Дж/К

4) По уравнению Майера определим общую изохорную теплоемкость смеси. Обратите внимание, что теплоемкость в формуле (3) вычислена не для одного моля газовой смеси, а для всего её количества. Фактически, удельная молярная изобарная теплоемкость была умножена на общее количество молей газовой смеси. Поэтому и постоянную R в формуле Майера следует умножить на общее количество молей газовой смеси.

    \[ C_{V} =C_{p} -(\nu _{CO _2 } +\nu _{N_2 } )\cdot R=12541,016-(113,636+285,714) \cdot 8,31= \]

=9220,656 Дж/К

5) Определим удельную изохорную теплоемкость смеси на единицу массы:

c_{v} =\frac{C_{v} }{m_{CO _2 } +m_{N_2 } } =\frac{9220,656}{5+8} =709,3 Дж/кг•К

Ответ c_{v} =709,3 Дж/кг•К
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.