Уравнение Майера

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение Майера связывает между собой молярную теплоёмкость для идеального газа в изохорном процессе, и молярную теплоёмкость при в изобарном процессе.

Именно в этом простом уравнении заключена физическая суть величины $R$ – универсальной газовой постоянной, равной 8,31 Дж/(моль • К).

Запись уравнения Майера

Уравнение Майера записывают в виде:

$C_{p}-C_{v} = R$

В нём с_p – молярная теплоёмкость при постоянном давлении, а с_v соответственно – в условиях постоянного объема.

Молярная теплоемкость указывает, сколько теплоты в Джоулях следует подводить к одному молю газа, чтобы нагреть его на 1 Кельвин. Молярную теплоемкость изохорного процесса можно определить по следующей формуле:

$C_{V} =\frac{i}{2R}$

где i – количество степеней свободы для молекулы газа. С учётом уравнения Майера, получим формулу для расчёта изобарной молярной теплоемкости:

$C_{p} =C_{V} +R= \frac{i+2}{2R}$

Расчеты с использованием уравнения Майера

В практических расчётах часто используют удельную массовую теплоемкость, и как раз она обычно приводится в таблицах теплофизических величин. Умножив молярную теплоёмкость газа на его молярную массу, мы получим удельную массовую теплоемкость:

$C_{p}^{m} =C_{p} \cdot M,$

$C_{V}^{m} =C_{V} \cdot M$

Зачем вообще понадобилось разграничивать изохорную и изобарную теплоемкости?

При изобарном процессе (процессе с постоянным давлением) первый закон термодинамики представляется формулой:

$dQ =dU+\delta A$

где $dQ$ — количество теплоты, подведенное к газу, $dU=C_{p} \Delta T$ – изменение внутренней энергии газа, $\delta A=p \Delta V$ – работа расширения, которую совершил газ.

А это значит, что теплота, подведённая к газу в изобарном процессе, будет потрачена на изменение его внутренней энергии и работу по его расширению.

Если же газ закрыть в замкнутом объёме (изохорный процесс), то работа по его расширению выполняться не будет ( $\delta A=0$ ), и вся подводимая теплота будет потрачена на изменение внутренней энергии:

$dQ =dU=C _{V} \Delta T$

Если от первого выражения отнять второе, получим:

$C _{p} \Delta T+p \Delta V-C_{V} \Delta T=0,$

$(C_{V} +R)\Delta T+p \Delta V-C_{V} \Delta T=0,$

$-R =\frac{p\Delta V }{\Delta T }$

Таким образом, газовая постоянная R определяет работу, затраченную на расширение одного моля газа при нагреве его на 1 Кельвин при постоянном давлении.

В основном уравнение Майера используется в теории тепловых машин и теплогидравлике для определения теплофизических характеристик рабочих тел. Однако оно нашло применение и в квантовой физике: постоянная Планка, связывающая энергию кванта света с его частотой, была получена с учётом физического смысла универсальной газовой постоянной.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Молярная изохорная теплоемкость углекислого газа 28,825 Дж/(моль•К). Найти теплоемкость 1 л углекислого газа при постоянном давлении.

Решение

Найдём изобарную молярную теплоёмкость по формуле Майера:

$C_p = R+ C_v = 28,825 + 8,31= 37,135$ Дж/(моль•К)

Зная теплоемкость 1 моля углекислого газа, находим изобарную теплоёмкость 1 л углекислого газа:

$C_{p}^{1l} =C_{p} \cdot V_{m} =37,135\cdot 22,4=831,8$ Дж/К

Ответ

831,8 Дж/К. Значит, чтобы нагреть 1 литр углекислого газа на 1 Кельвин, нужно затратить 831,8 Дж

ПРИМЕР 2

Задание

Газовая смесь состоит из 5 кг диоксида углерода СО₂ и 8 кг диазота N₂. Изобарные молярные теплоемкости указанных газов при температуре Т=298,15 К равны $C_{pCO_2} =37,135$ Дж/моль•К, $C_{pN_2 } =29,124$ Дж/моль•К. Рассчитать удельную массовую изохорную теплоемкость смеси $C_{V}$ , Дж/кг•К.

Решение

1) Определим молярные массы каждого из компонентов смеси:

$M_{CO _2 } =A_{C} +2\cdot A_{O} =12+2\cdot 16=44$ г/моль

$M_{N_2 } =2\cdot A_{N} =2\cdot 14=28$ г/моль

2) Определим количество вещества каждого из компонентов смеси (в молях):

$\nu _{CO _2 } =\frac{m_{CO _2 } }{M_{CO _2 } } =\frac{5000}{44} =113,636$ моль

$\nu _{N_2 } =\frac{m_{N_2 } }{M_{N_2 } } =\frac{8000}{28} =285,714$ моль

3) Вычислим общую изобарную теплоемкость смеси:

$C_{p} =\nu _{CO _2 } \cdot C_{pCO _2 } +\nu _{N_2 } \cdot C_{pN_2 } =113,636 \cdot 37,135+285,714 \cdot 29,124=$

$=12541,016$ Дж/К

4) По уравнению Майера определим общую изохорную теплоемкость смеси. Обратите внимание, что теплоемкость в формуле (3) вычислена не для одного моля газовой смеси, а для всего её количества. Фактически, удельная молярная изобарная теплоемкость была умножена на общее количество молей газовой смеси. Поэтому и постоянную R в формуле Майера следует умножить на общее количество молей газовой смеси.

$C_{V} =C_{p} -(\nu _{CO _2 } +\nu _{N_2 } )\cdot R=12541,016-(113,636+285,714) \cdot 8,31=$