Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение Эйлера

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение Эйлера – это уравнение гидродинамики, которое описывает движение потока идеальной жидкости и учитывает силы, воздействующие на жидкость.

В модели Эйлера рассматривается идеальная жидкость, в которой отсутствуют теплопроводность (жидкость имеет постоянную температуру, не нагревается и не охлаждается) и вязкость (в жидкости не возникают силы трения). Поэтому силы, воздействующие на такую жидкость, сводятся к силам давления её собственных масс, гравитационным и инерционным силам.

Уравнение Эйлера в векторной форме

В векторной форме уравнение Эйлера имеет вид:

    \[\frac{d\bar{v}}{dt } =\bar{g}-\frac{1}{\rho } grad\; p\]

Слагаемые в правой части учитывают влияние внешних сил и давления собственной массы жидкости: \bar{g}(x, y, z, t) – напряженность внешнего силового поля, p(x, y, z, t) – давление в жидкости, \rhoплотность жидкости. Вектор \overline{v}(x, y, z, t) – скорость движения жидкости. \frac{d\bar{v}}{dt } – субстанциональная производная, которая представляет собой ускорение движущейся точки в материальной среде. Субстанциональную производную можно разложить на частные производные, и тогда уравнение Эйлера примет вид:

    \[\frac{\partial \bar{v}}{\partial t} +grad\; v ^2 +rot\; \overline{v}\times \overline{v}=\bar{g}-\frac{1}{\rho } grad\; p\]

Последнее уравнение еще называют уравнением движения невязкой жидкости в форме Громеко. Оно удобно еще и тем, что выделяет вихревую составляющую движения в виде слагаемого rot\; \overline{v}\times \overline{v}, а частная производная по времени \frac{\partial \bar{v}}{\partial t} отображает местное ускорение, характерное для неустановившихся течений.

Решение уравнения Эйлера

При расчётах удобнее использовать уравнение Эйлера в скалярной форме:

    \[ \frac{dv _{x} }{dt } =g_{x} -\frac{1}{\rho } grad\; p _{x} , \]

    \[ \frac{dv _{y} }{dt } =g_{y} -\frac{1}{\rho } grad\; p _{y} , \]

    \[ \frac{dv _{z} }{dt } =g_{z} -\frac{1}{\rho } grad\; p _{z} , \]

где векторы скорости и внешних сил, а также поле давления разложены в виде проекций на координатные оси.

При решении несложных прикладных задач гидро- и газодинамики иногда бывает достаточно рассмотреть установившийся во времени одномерный поток. В этом случае уравнение Эйлера примет простой вид:

    \[v\frac{dv }{dx } =-\frac{1}{\rho } \cdot \frac{dp }{dx } \]

Проинтегрировав это выражение, можно получить уравнение Бернулли:

    \[\frac{\rho v ^2 }{2} +p=const\]

Уравнение Эйлера

Уравнение Эйлера, лежащее в основе гидродинамики, используется в самых разных областях: при проектировании самолётов и судов, при расчёте турбин, насосов и трубопроводов, при исследовании морских течений и движения грунтовых вод.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание По горизонтальной трубе протекает жидкость плотностью 950 кг/м3. Давление на входе в трубу 0,3 МПа, на выходе из трубы 1 МПа. Скорость на входе в трубу 50 м/с. Определить скорость на выходе из трубы.
Решение Запишем уравнение Эйлера для стационарного одномерного потока:

    \[v\frac{dv }{dx } =-\frac{1}{\rho } \cdot \frac{dp }{dx } \]

Умножим обе части на dx и проинтегрируем:

    \[vdv =-\frac{dp }{\rho } \]

    \[\frac{\rho v ^2 }{2} +p=const\]

Запишем это выражение для входного и выходного сечений:

    \[ \frac{\rho v _1 ^2 }{2} +p_1 =\frac{\rho v _2 ^2 }{2} +p_2 ,  \]

    \[ \frac{\rho (v _1 ^2 -v_2 ^2 )}{2} =p_2 -p_1 , \]

    \[ v_2 =\sqrt{v_1 ^2 -\frac{2(p _2 -p_1 )}{\rho } } =\sqrt{50^2 -\frac{2\cdot (10 ^6 -3\cdot 10^5 )}{950} } =32,04 \ m/c \]

Ответ v_2 = 32,04 м/с
ПРИМЕР 2
Задание Получите вывод уравнения Эйлера.
Решение Пусть объем жидкости постоянно состоит из одних и тех же частиц. Запишем для него II закон Ньютона:

    \[\frac{d}{dt } \iiint_{V}\rho \overline{v}dV= \overline{F}+\overline{F}_{S} \]

где \overline{F}=\iiint_{V}\rho \overline{g}dV — внешняя объемная сила, \overline{F}_{S} =- \oint\int _{S}\overline{n}pdS=- \iiint_{V}\nabla pdV — сила, действующая на объем V со стороны окружающей среды через ограничивающую поверхность S.

Пример уравнения Эйлера

Подставив эти выражения в первый интеграл, получим:

    \[\iiint \nolimits _{V}\left[\frac{d(\rho \overline{v})}{dt } +\rho \overline{v}(\nabla \overline{v})\right] dV= \iiint \nolimits _{V}\left[-\nabla p+\rho \overline{g}\right] dV \]

Поскольку объем V был выбран произвольно, этот интеграл можно решить как несобственный:

    \[\rho \frac{d\overline{v}}{dt } +\overline{v}\frac{d\rho }{dt } +\rho \overline{v}(\nabla \overline{v})=- \nabla p+\rho \overline{g}\]

Используем уравнение неразрывности \frac{\partial \rho }{\partial t} +\nabla (\rho \overline{v})=0:

    \[\overline{v}\frac{d\rho }{dt } +\rho \overline{v}(\nabla \overline{v})=0 \]

вследствие чего приходим к форме записи:

    \[\frac{\partial \overline{v}}{\partial t} +(\overline{v}\nabla )\overline{v}=- \frac{\nabla p}{\rho } +\overline{g}\]

Ответ Получено уравнение Эйлера: \frac{\partial \overline{v}}{\partial t} +(\overline{v}\nabla)\overline{v}=- \frac{\nabla p}{\rho } +\overline{g}