Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение диффузии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Явлением диффузии называется процесс установления внутри фаз равновесного распределения концентраций.

Результатом диффузии при постоянной температуре является выравнивание химических потенциалов. В однофазной системе при постоянной температуре и при отсутствии внешних сил диффузия выравнивает концентрацию компонента фазы во всей системе. Если на систему действуют внешние силы или поддерживается градиент температуры, то в результате диффузии устанавливаются градиенты концентраций отдельных компонентов (термодиффузия, электродиффузия и другие процессы).

Уравнение диффузии в одномерном случае

Уравнение диффузии в одномерном случае (\rho =\rho \left(x\right)) в двухкомпонентной системе — это первый закон Фика:

    \[dm=-D\frac{d\rho }{dx}dSdt\ \left(1\right)\]

где dm – масса первого компонента, которая переносится за время dt через элементарную площадку dS в направлении нормали x к рассматриваемой площадке в сторону убывания плотности первого компонента, \frac{d\rho }{dx} – градиент плотности, D – коэффициент диффузии.

Если в однокомпонентной системе выделить группу молекул, выравнивание концентрации выделенных частиц по объёму сосуда называется самодиффузией. Самодиффузия тоже описывается уравнением диффузии (первым законом Фика), в котором коэффициент D- называется коэффициентом самодиффузии.

Уравнение диффузии в трехмерном случае

В случае трехмерной диффузии изменение концентрации с течением времени при постоянной температуре и отсутствии внешних сил описывается дифференциальным уравнением диффузии:

    \[\frac{\partial c}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}\left(D\frac{\partial c}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(D\frac{\partial c}{\partial y}\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(D\frac{\partial c}{\partial z}\right) \qquad (2)\]

где D- коэффициент диффузии, t- время. Если D не зависит от концентрации, то уравнение диффузии будет иметь вид:

    \[\frac{\partial c}{\partial t}=D\Delta c\ \left(3\right)\]

Уравнение (3) еще называют вторым законом Фика, где \Delta— дифференциальный оператор Лапласа.

В том случае, если перенос вещества вызван лишь градиентом его концентрации уравнение диффузии можно записать и в следующем виде:

    \[\frac{dc}{dt}=div\left(Dgrad\left(c\right)\right)-q\ \cdot c+F \qquad (4)\]

где c(x, t) — концентрация вещества в точке x=(x_1,x_2,x_3) среды в момент времени t, D – коэффициент диффузии, q — коэффициент поглощения, a F — интенсивность источников вещества. Величины D, q и F обычно являются функциями координат и времени, а также могут зависеть от концентрации с(x, t). B последнем случае, уравнение диффузии (4) становится нелинейным. В анизотропной среде коэффициент диффузии D является тензорным полем. В случае, когда величины D и q постоянны уравнение (4) является уравнением параболического типа. Для такого типа уравнений в математической физике разработаны методы решения. Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большинстве случаев реализуемых на практике. Уравнения диффузии не содержат ни каких сведений о механизмах этого процесса. Основная цель решения уравнения — найти распределение примеси c(x,t) после диффузии в течение определенного времени при различных условиях осуществления процесса.

Решение уравнения диффузии

Для выделения единственного решения для уравнения (4) необходимо задать начальные и граничные условия. Обычно, рассматривают следующие граничные условия:

1) на границе поверхности S поддерживается заданное распределение вещества c_0(x,t):\ {\left.c(x,t)\right|}_s=c_0(x,t)

2)на границе поверхности S поддерживается заданная плотность потока вещества, входящего в V через границу S: -D{\left.\frac{\partial c\left(x,t\right)}{\partial n}\right|}_s=c_1\left(x,t\right),

где n – внутренняя нормаль к поверхности S;

3) S- полупроницаема, и диффузия во внешнюю среду с заданной концентрацией c_0(x,t) через поверхность S происходит по линейному закону: k\frac{\partial c(x,t)}{\partial n}+h[{\left.c\left(x,t\right)-c_0(x,t)]\right|}_s=0

В простейшем случае, когда диффузия происходит только вдоль одной прямой и c=c(x,t)уравнение (3) запишется в виде:

    \[\frac{\partial c}{\partial t}=D\frac{{\partial }^2c}{\partial x^2}\ \left(3\right);t>0\ \left(5\right)\]

с начальным условием: c\left(x,0\right)=\varphi \left(x\right),\ -\infty <x<\infty .

Тогда уравнение (5) имеет решение вида:

    \[c\left(x,t\right)=\int^{\infty }_{-\infty }{G\left(x,x',t\right)\varphi \left(x'\right)dx'\ }\left(6\right)\]

    \[G\left(x,x',t\right)=({4\pi Dt)}^{-\frac{1}{2}}{\exp \left[-\frac{{\left(x'-x\right)}^2}{4Dt}\right]\ }\]

x' — текущая координата интегрирования.

Выражение (6) называется фундаментальным решением уравнения диффузии в случае (5).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти массу газа (\Delta m) с молярной плотностью \mu , прошедшего вследствие диффузии через площадку \Delta S за время \Delta t, если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен \frac{\Delta \rho }{\Delta t}. Температура газа T, средняя длинна свободного пробега молекулы \lambda.
Решение Запишем первый закон Фика в терминах условий задачи:

    \[\Delta m=-D\frac{\Delta \rho }{\Delta x}\Delta S\Delta t\qquad (1.1)\]

Знак минус означает, направление вектора плотности. Возьмем модуль от правой части выражения (1.1):

    \[\Delta m=D\frac{\Delta \rho }{\Delta x}\Delta S\Delta t\qquad (1.2)\]

Зная, что D=\frac{1}{3}\overline{\lambda }\overline{v}, где \overline{\lambda }— средняя длина свободного пробега молекулы, \overline{v}средняя скорость молекулы газа и она равна: v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}.

Соответственно преобразуем (1.2), найдем искомую массу газа:

    \[\Delta m=\frac{1}{3}\overline{\lambda }\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}\frac{\Delta \rho }{\Delta x}\Delta S\Delta t\]

Ответ Искомая масса газа может быть найдена по формуле: \Delta m=\frac{1}{3}\overline{\lambda }\sqrt{\frac{8RT}{\pi \mu }}\frac{\Delta \rho }{\Delta x}\Delta S\Delta t
ПРИМЕР 2
Задание Найти распределение концентрации внутри полубесконечного тонкого цилиндрического сосуда (c(o,t)=0), если начальное распределение концентрации вещества: c\ \left(x,0\right)=f\left(x\right)=c_0
Уравнение диффузии

рис. 1

Решение Из условий задачи следует, что необходимо найти решение уравнения диффузии \frac{\partial c}{\partial t}=D\frac{{\partial }^2c}{\partial x^2}, удовлетворяющее начальному условию: c\ \left(x,0\right)=f\left(x\right)=c_0, и граничному условию: c(o,t)=0.

Решение может быть найдено из фундаментального решения уравнения теплопроводности:

    \[c\left(x,t\right)=\int^{\infty }_{\infty }{G\left(x,x',t\right)f\left(x'\right)dx'\ },\qquad (2.1)\]

где G\left(x,x',t\right)=({4\pi Dt)}^{-\frac{1}{2}}{\exp \left[-\frac{{\left(x'-x\right)}^2}{4Dt}\right]\ }

Перепишем (2.1) в виде:

    \[c\left(x,t\right)=({4\pi Dt)}^{-\frac{1}{2}}\int^{\infty }_0{\{f\left(x'\right){exp \left[-\frac{{\left(x'-x\right)}^2}{4Dt}\right]\ }+}f\left({-x}'\right){exp \left[-\frac{{\left(x'+x\right)}^2}{4Dt}\right]\ }\}d{x}^{'}\qquad (2.2)\]

Удовлетворяя граничному условию, будем иметь:

    \[c\left(0,t\right)=({4\pi Dt)}^{-\frac{1}{2}}\int^{\infty }_0{{exp \left[-\frac{{x'}^2}{4Dt}\right]\ }}\cdot \{f\left(x'\right)-f\left({-x}'\right)\}dx'\qquad (2.3)\]

Условие будет выполнено, если f\left({-x}'\right)=-f\left(x'\right)\ \left(0\le x'\le \infty \right) (2.4)

Подставим (2.4) в (2.2) получим:

    \[c\left(x,t\right)=({4\pi Dt)}^{-\frac{1}{2}}\int^{\infty }_0{f\left(x'\right)\{{exp \left[-\frac{{\left(x'-x\right)}^2}{4Dt}\right]\ }-}{exp \left[-\frac{{\left(x'+x\right)}^2}{4Dt}\right]\ }\}dx'\qquad (2.5)\]

Зная, что начальная концентрация постоянна и равна c_0, то из (2.5) получим:

    \[c\left(x,t\right)=\frac{c_0}{\sqrt{4\pi Dt}}\int^{\infty }_0{\{{exp \left[-\frac{{\left(x'-x\right)}^2}{4Dt}\right]\ }-}{exp \left[-\frac{{\left(x'+x\right)}^2}{4Dt}\right]\ }\}dx'\qquad (2.5)\]

Разобьем интеграл на два слагаемых и введем новые переменные интегрирования:

    \[\alpha =\frac{x'-x}{\sqrt{4Dt}},\ \beta =\frac{x'+x}{\sqrt{4Dt}}\qquad (2.6)\]

получим:

    \[c\left(x,t\right)=\frac{c_0}{\sqrt{\pi }}\left[\int^{\infty }_{-\frac{x}{\sqrt{4Dt}}}{e^{-{\alpha }^2}d\alpha }-\int^{\infty }_{\frac{x}{\sqrt{4Dt}}}{e^{-{\beta }^2}d\beta }\right]=\frac{c_0}{\sqrt{\pi }}\int^{\frac{x}{\sqrt{4Dt}}}_{-\frac{x}{\sqrt{4Dt}}}{e^{-{\alpha }^2}d\alpha }=\frac{{2c}_0}{\sqrt{\pi }}\int^{\frac{x}{\sqrt{4Dt}}}_0{e^{-{\alpha }^2}d\alpha }\]

или

    \[c\left(x,t\right)=c_0\theta \left(\frac{x}{\sqrt{4Dt}}\right),\qquad (2.7)\]

где \theta \left(z\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int^z_0{e^{-{\alpha }^2}}d\alpha (2.8)

— интеграл ошибок.

Ответ Распределение концентрации внутри полубесконечного тонкого цилиндрического сосуда при заданных условиях имеет вид: \left(x,t\right)=c_0\theta \left(\frac{x}{\sqrt{4Dt}}\right)