Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение бегущей волны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор, называется вектором плотности потока. (Для упругих волн – вектор Умова).

Теория про уравнение бегущей волны

Когда мы говорим о движении тела, то имеем в виду перемещение в пространстве его самого. В случае же волнового движения речь идет не о перемещении среды или поля, а о перемещении возбужденного состояния среды или поля. В волне определенное состояние, сначала локализованное в одном месте пространства, передается (перемещается) в другие, соседние точки пространства.

Состояние среды или поля в данной точке пространства характеризуется одним или несколькими параметрами. Такими параметрами, например, в волне, образуемой на струне, является отклонение данного участка струны от положения равновесия (х), в звуковой волне в воздухе — это величина, характеризующая сжатие или расширение воздуха, в электромагнитной волне — это модули векторов \overline{E} и \overline{B}. Важнейшим понятием для любой волны является фаза. Под фазой понимается состояние волны в данной точке и в данный момент времени, описанное соответствующими параметрами. Например, фаза электромагнитной волны задается модулями векторов \overline{E} и \overline{B}. Фаза от точки к точке меняется. Таким обpазом, фаза волны в математическом смысле есть функция координат и времени. С понятием фазы связано понятие волновой поверхности. Это поверхность, все точки которой в данный момент времени находятся в одной и той же фазе, т.е. это поверхность постоянной фазы.

Понятия волновой поверхности и фазы позволяют провести некоторую классификацию волн по характеру их поведения в пространстве и времени. Если волновые поверхности перемещаются в пространстве (например, обычные волны на поверхности воды), то волна называется бегущей.

Бегущие волны можно разделить на: плоские, сферические и цилиндрические.

Уравнение бегущей плоской волны

Уравнение плоской гармонической волны – это выражение вида:

    \[x=A\sin w\left[\left(t-\frac{r}{v}\right)+\emptyset \right]=A\sin(wt-kr+\emptyset )(1)\]

или (что одно и то же)

    \[x=A\cos w\left[\left(t-\frac{r}{v}\right)+{\emptyset }_0\right]=A\cos(wt-kr+{\emptyset }_0)\]

где под x можно подразумевать любой параметр, характеризующий состояние среды (например, величину давления, температуру и т.д.); A- амплитуда волны; w- циклическая частота; r-расстояние от источника, возбуждающего волну, до точки пространства, в которой рассматривается изменение некоторого свойства среды, v – скорость волны; \emptyset ,\ {\emptyset }_0— начальная фаза волны (выбирается началом отсчета). Причем \emptyset ,\ {\emptyset }_{0\ }отличаются сдвигом на \frac{\pi }{2};\ k=\frac{2\pi }{\lambda }— волновое число; \lambdaдлина волны; выражение \left(wt-kr\right)называется фазой волны.

Экспоненциальная форма записи уравнения бегущей волны

Экспоненциальная форма записи уравнения (1) имеет вид:

    \[x=B\cdot exp (i\left(\overline{k}\cdot \overline{r}-wt\right))(2)\]

где \overline{r} – радиус вектор, проведенный в рассматриваемую току среды; \overline{k}=\frac{2\pi }{\lambda }\overline{n} – волновой вектор; \overline{n}— единичный вектор, указывающий направление волны, i=\sqrt{-1};\ B=Ae^{i(\frac{\pi }{2}-\emptyset )}— комплексная амплитуда.

Для уравнения (2) необходимо отметить, что такая форма записи удобна для дифференцирования волновых уравнений. Однако физический смысл имеет только вещественная часть экспоненциального выражения.

Уравнение сферической и цилиндрической бегущей волны

Уравнение сферической бегущей волны:

    \[x=\frac{A}{r}{\sin \left(wt-kr+\emptyset \right)\ }\left(3\right)\]

В экспоненциальной форме уравнение сферической волны имеет вид:

    \[x=\frac{C}{r}{exp(i\left(\overline{k}\cdot \overline{r}-wt\right)) (4)\ }\]

где \frac{C}{r}=\frac{A}{r}e^{i(\frac{\pi }{2}-\emptyset )} – комплексная амплитуда. Везде, кроме особой точки r=0, функция x удовлетворяет волновому уравнению \triangle x+k^2x=0.

Уравнение цилиндрическое бегущей волны:

    \[x=\frac{A}{\sqrt{r}}{\sin \left(wt-kr+\emptyset \right)\ }(5)\]

где r – расстояние от оси.

    \[x=\frac{C}{\sqrt{r}}{{\exp \left(i\left(\overline{k}\cdot \overline{r}-wt\right)\right)\ } \left(6\right)\ }\]

где \frac{C}{\sqrt{r}}=\frac{A}{\sqrt{r}}e^{i(\frac{\pi }{2}-\emptyset )} – комплексная амплитуда.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Плоская незатухающая звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты \nu Амплитуда колебаний источника a. Напишите уравнение колебаний источника x(0,t), если в начальный момент смещение точек источника максимально.
Решение Запишем уравнение бегущей волны, зная, что она плоская:

    \[x=a\cos w\left[\left(t-\frac{r}{v}\right)+{\emptyset }_0\right]\ (1.1)\]

Используем в записи уравнения w=2\pi \nu, запишем (1.1) в начальный момент времени (t=0):

    \[x\ (r,0)=\text{acos} (2\pi \nu \left(-\frac{r}{v}\right)+{\emptyset }_0)\ (1.2.)\]

Из условий задачи известно, что в начальный момент смещение точек источника максимально. Следовательно, {\cos \left(2\pi \nu \left(-\frac{r}{v}\right)+{\emptyset }_0\right)\ }=1.

Получим: {\emptyset }_0=2\pi\nu\frac{r}{v}, отсюда {\emptyset }_0=0 в точке, где расположен источник (т.е. при r=0).

Соответственно: x(0,t)=\text{acos}2\pi \nu t.

Ответ x(0,t)=\text{acos}2\pi \nu t
ПРИМЕР 2
Задание На рисунке дан график смещений \varepsilon в продольной плоской бегущей волне для некоторого момента времени t. Нарисовать под этим графиком примерный график плотности энергии w для того же момента времени t.
Уравнение бегущей волны
Решение На рисунке дана «моментальная фотография» смещения частиц в бегущей волне

Исходя из рисунка волну можно описать уравнением в некоторый момент t:

    \[\varepsilon =A\cos(wt-kx)\ (2.1.)\]

В случае продольной плоской волны плотность энергии выражается как:

    \[w=\rho v^2\ (2.2)\]

где \rho — плотность среды, в которой распространяются волны, v— скорость колебательного движения частиц вдоль оси x.

    \[v=\frac{dе}{dx}\ (2.3)\]

подставляя (2.1) в (2.3), а затем в (2.2), получаем:

w=\rho k^2A^2{\sin}^2(wt-kx). Исходя из полученной функции Нарисуем график плотности энергии переносимой волной (рис. 2)

Уравнение бегущей плоской волны