Уравнение бегущей волны

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор, называется вектором плотности потока. (Для упругих волн – вектор Умова).

Теория про уравнение бегущей волны

Когда мы говорим о движении тела, то имеем в виду перемещение в пространстве его самого. В случае же волнового движения речь идет не о перемещении среды или поля, а о перемещении возбужденного состояния среды или поля. В волне определенное состояние, сначала локализованное в одном месте пространства, передается (перемещается) в другие, соседние точки пространства.

Состояние среды или поля в данной точке пространства характеризуется одним или несколькими параметрами. Такими параметрами, например, в волне, образуемой на струне, является отклонение данного участка струны от положения равновесия (х), в звуковой волне в воздухе — это величина, характеризующая сжатие или расширение воздуха, в электромагнитной волне — это модули векторов $\overline{E}$ и $\overline{B}$ . Важнейшим понятием для любой волны является фаза. Под фазой понимается состояние волны в данной точке и в данный момент времени, описанное соответствующими параметрами. Например, фаза электромагнитной волны задается модулями векторов $\overline{E}$ и $\overline{B}$ . Фаза от точки к точке меняется. Таким обpазом, фаза волны в математическом смысле есть функция координат и времени. С понятием фазы связано понятие волновой поверхности. Это поверхность, все точки которой в данный момент времени находятся в одной и той же фазе, т.е. это поверхность постоянной фазы.

Понятия волновой поверхности и фазы позволяют провести некоторую классификацию волн по характеру их поведения в пространстве и времени. Если волновые поверхности перемещаются в пространстве (например, обычные волны на поверхности воды), то волна называется бегущей.

Бегущие волны можно разделить на: плоские, сферические и цилиндрические.

Уравнение бегущей плоской волны

Уравнение плоской гармонической волны – это выражение вида:

$x=A\sin w\left[\left(t-\frac{r}{v}\right)+\emptyset \right]=A\sin(wt-kr+\emptyset )(1)$

или (что одно и то же)

$x=A\cos w\left[\left(t-\frac{r}{v}\right)+{\emptyset }_0\right]=A\cos(wt-kr+{\emptyset }_0)$

где под x можно подразумевать любой параметр, характеризующий состояние среды (например, величину давления, температуру и т.д.); A- амплитуда волны; w- циклическая частота; r-расстояние от источника, возбуждающего волну, до точки пространства, в которой рассматривается изменение некоторого свойства среды, $v$ – скорость волны; $\emptyset ,\ {\emptyset }_0$ — начальная фаза волны (выбирается началом отсчета). Причем $\emptyset ,\ {\emptyset }_{0\ }$ отличаются сдвигом на $\frac{\pi }{2};\ k=\frac{2\pi }{\lambda }$ — волновое число; $\lambda$ — длина волны; выражение $\left(wt-kr\right)$ называется фазой волны.

Экспоненциальная форма записи уравнения бегущей волны

Экспоненциальная форма записи уравнения (1) имеет вид:

$x=B\cdot exp (i\left(\overline{k}\cdot \overline{r}-wt\right))(2)$

где $\overline{r}$ – радиус вектор, проведенный в рассматриваемую току среды; $\overline{k}=\frac{2\pi }{\lambda }\overline{n}$ – волновой вектор; $\overline{n}$ — единичный вектор, указывающий направление волны, $i=\sqrt{-1};\ B=Ae^{i(\frac{\pi }{2}-\emptyset )}$ — комплексная амплитуда.

Для уравнения (2) необходимо отметить, что такая форма записи удобна для дифференцирования волновых уравнений. Однако физический смысл имеет только вещественная часть экспоненциального выражения.

Уравнение сферической и цилиндрической бегущей волны

Уравнение сферической бегущей волны:

$x=\frac{A}{r}{\sin \left(wt-kr+\emptyset \right)\ }\left(3\right)$

В экспоненциальной форме уравнение сферической волны имеет вид:

$x=\frac{C}{r}{exp(i\left(\overline{k}\cdot \overline{r}-wt\right)) (4)\ }$

где $\frac{C}{r}=\frac{A}{r}e^{i(\frac{\pi }{2}-\emptyset )}$ – комплексная амплитуда. Везде, кроме особой точки r=0, функция x удовлетворяет волновому уравнению $\triangle x+k^2x=0$ .

Уравнение цилиндрическое бегущей волны:

$x=\frac{A}{\sqrt{r}}{\sin \left(wt-kr+\emptyset \right)\ }(5)$

где r – расстояние от оси.

$x=\frac{C}{\sqrt{r}}{{\exp \left(i\left(\overline{k}\cdot \overline{r}-wt\right)\right)\ } \left(6\right)\ }$

где $\frac{C}{\sqrt{r}}=\frac{A}{\sqrt{r}}e^{i(\frac{\pi }{2}-\emptyset )}$ – комплексная амплитуда.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Плоская незатухающая звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты $\nu$ Амплитуда колебаний источника a. Напишите уравнение колебаний источника x(0,t), если в начальный момент смещение точек источника максимально.

Решение

Запишем уравнение бегущей волны, зная, что она плоская:

$x=a\cos w\left[\left(t-\frac{r}{v}\right)+{\emptyset }_0\right]\ (1.1)$

Используем в записи уравнения w= $2\pi \nu$ , запишем (1.1) в начальный момент времени (t=0):

$x\ (r,0)=\text{acos} (2\pi \nu \left(-\frac{r}{v}\right)+{\emptyset }_0)\ (1.2.)$

Из условий задачи известно, что в начальный момент смещение точек источника максимально. Следовательно, ${\cos \left(2\pi \nu \left(-\frac{r}{v}\right)+{\emptyset }_0\right)\ }=1$ .

Получим: ${\emptyset }_0=2\pi\nu\frac{r}{v}$ , отсюда ${\emptyset }_0=0$ в точке, где расположен источник (т.е. при r=0).

Соответственно: $x(0,t)=\text{acos}2\pi \nu t$ .

Ответ

$x(0,t)=\text{acos}2\pi \nu t$

ПРИМЕР 2

Задание

На рисунке дан график смещений $\varepsilon$ в продольной плоской бегущей волне для некоторого момента времени t. Нарисовать под этим графиком примерный график плотности энергии w для того же момента времени t.