Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Стационарное уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера

Для частиц квантового мира действуют другие законы, чем для объектов классической механики. Согласно предположению де Бройля, микрообъекты обладают свойствами и частицы, и волны – и, действительно, при рассеивании пучка электронов на отверстии наблюдается дифракция, характерная для волн.

Уравнение Шредингера

Поэтому можно говорить не о траекториях движения квантовых частиц, а о вероятности того, что частица будет находиться в конкретной точке в некий момент времени.

Что описывает уравнение Шредингера

Уравнение Шрёдингера предназначено для описания особенностей движения квантовых объектов в полях внешних сил. Зачастую частица передвигается сквозь силовое поле, не зависящее от времени. Для этого случая записывается стационарное уравнение Шрёдингера:

    \[\Delta \psi +\frac{2m}{\hbar ^2 } (E-U)\psi =0 \]

В представленном уравнении m и Е – масса и соответственно энергия частицы, пребывающей в силовом поле, а U – потенциальная энергия этого поля. \Delta = \frac{\partial ^2 }{\partial x^2 } +\frac{\partial ^2 }{\partial y^2 } +\frac{\partial ^2 }{\partial z^2 } — оператор Лапласа. \hbar — постоянная Планка, равная 6,626•10-34Дж•с.

\psi (её также называют амплитудой вероятности, или пси-функцией) – это и есть функция, позволяющая узнать, в каком месте пространства, скорее всего, будет находиться наш микрообъект. Физический смысл имеет не сама функция, а её квадрат. Вероятность того, что частица находится в элементарном объеме dV:

    \[dW=\left|\psi \right|^2 dV\]

Следовательно, найти функцию в конечном объеме можно с вероятностью:

    \[W=\int _{V}\left|\psi \right|^2 dV \]

Так как пси-функция – вероятность, то она не может быть ни меньше нуля, ни превышать единицу. Полная вероятность найти частицу в бесконечном объеме – это условие нормировки:

    \[\int _{-\infty }^{\infty }\left|\psi \right|^2 dV=1\]

Для пси-функции работает принцип суперпозиции: если частица или система может находиться в ряде квантовых состояний \psi _1,\ \psi _2 \dots \psi _{n}, то для нее возможно и состояние, определяемое их суммой:

    \[\psi =\psi _1 +\psi _2 +...+\psi _{n} \]

Стационарное уравнение Шрёдингера имеет множество решений, однако при решении следует учесть граничные условия и отобрать только собственные решения – те, которые обладают физическим смыслом. Такие решения существуют только для отдельных значений энергии частицы Е, которые и образуют дискретный энергетический спектр частицы.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Волновая функция описывает расстояние электрона до ядра водорода: \psi =Ae ^{-\frac{r}{A} } . r – расстояние между электроном и ядром, a – первый Боровский радиус. На каком расстоянии от ядра электрон, скорее всего, находится?
Решение 1) Выразив объем через радиус ядра, найдем вероятность того, что электрон находится в пределах некоторого расстояния от ядра:

    \[dW=\left|\psi \right|^2 dV=4\pi r ^2 \left|\psi \right|^2 dr= 4\pi r ^2 A^2 e^{-\frac{2r }{A} } dr\]

2) Вероятность того, что электрон находится в пределах элементарного «кольца» dr:

    \[\omega =\frac{dW}{dr} =4\pi r ^2 A^2 e^{-\frac{2r }{A} } \]

3) Чтобы найти наиболее вероятное расстояние, найдем экстремум из последнего выражения:

    \[\frac{d\omega }{dr } =(4\pi r ^2 A^2 e^{-\frac{2r }{A} } )'=8\pi rA ^2 e^{-\frac{2r }{A} } +4\pi r ^2 A^2 e^{-\frac{2r }{A} } (-\frac{2}{a} )\]

    \[\frac{d\omega }{dr } =0\]

Решив это уравнение, получим r = a – самое вероятное расстояние между электроном и ядром.

Ответ r = a – с наибольшей вероятностью ядро находится на расстоянии первого Боровского радиуса от ядра.
ПРИМЕР 2
Задание Найти уровни энергии частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме.
Решение Пусть частица движется по оси абсцисс. Ширина ямы – l. Энергию мы отсчитываем от дна ямы и описываем функцией:
Стационарное уравнение Шредингера

Запишем одномерное стационарное уравнение Шрёдингера:

    \[\Delta \psi +\frac{2m}{\hbar ^2 } (E-U)\psi =0 \]

Рассмотрим граничные условия. Так как мы считаем, что частица не может проникнуть за стенки, то за пределами ямы \psi=0. На границе ямы пси-функция также равна нулю: \psi (0)=\psi (l)=0. В яме потенциальная энергия U=0.

Тогда уравнение Шрёдингера, записанное для ямы, упростится:

    \[\Delta \psi +\frac{2m}{\hbar ^2 } E\psi =0 \]

По форме это – ДУ гармонического осциллятора:

    \[\frac{\partial ^2 \psi }{\partial x^2 } +k^2 \psi =0 \]

Общее решение для этого выражения:

    \[\psi (x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)\]

Подставим в последнюю формулу \psi (0)= 0\to B=0.

Подставим условие на границе:

    \[\psi (l)=0\to A\sin(kl)=0 \to kl=n\pi \to k^2 =\frac{n^2 \pi ^2 }{l^2 } \]

Так как мы делали замену k^2=\frac{2m}{\hbar ^2 }, то энергия квантовой частицы:

E=\frac{p^2 }{2m } =\frac{\hbar ^2 k^2 }{2m } =\frac{\hbar ^2 n^2 \pi ^2 }{2ml ^2 },\ n=1,2,3\dots

Энергия частицы квантуется – принимает только дискретные значения.

Ответ E=\frac{\hbar ^2 n^2 \pi ^2 }{2ml ^2 },\ n=1,2,3\dots