Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Кинетическое уравнение

Статистическое описание газа осуществляется функцией распределения f(t,q,p) молекул газа в их фазовом пространстве, где q — совокупность обобщенных координат молекулы, p – совокупность обобщенных импульсов, соответствующих координатам, t – время (функция распределения зависит от времени в нестационарном состоянии). Довольно часто символом Г обозначают совокупность всех переменных, от которых зависит функция распределения, за исключением координат молекулы и времени f(t,\overrightarrow{r,\ }\overrightarrow{\Gamma}). Величины \overrightarrow{\Gamma} обладают важным свойством: это интегралы движения, остающиеся постоянными для каждой молекулы в течение ее свободного движения.

Так, для одноатомного газа величинами \overrightarrow{\Gamma} являются три компоненты импульса атома \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}. Для двухатомной молекулы в \overrightarrow{\Gamma} входит импульс и вращательный момент.

Основное кинетическое уравнение

Основное уравнение кинетической теории газов ( или кинетической уравнение) – это уравнение определяющее функцию распределения f(t,\overrightarrow{r,\ }\overrightarrow{\Gamma}).

Уравнение:

    \[\frac{df}{dt}=St\ f\ \left(1\right)\]

где St\ f— интеграл столкновений, уравнение (1) называют кинетическим уравнением. Символ St\ f— означает скорость изменения функции распределения благодаря столкновениям молекул. Кинетическое уравнение приобретает реальный смысл лишь после установления интеграла столкновений. Тогда кинетическое уравнение приобретает вид (2). Это интегро-дифференциальное уравнение также, называют уравнением Больцмана:

    \[\frac{\partial f}{\partial t}+\overrightarrow{v}\nabla f=\int{w'(f'f'_1-ff_1)d\Gamma_1d\Gamma'}d\Gamma'_2\ \left(2\right)\]

Требуется пояснить, что такое правая часть уравнения (2).

При столкновении двух молекул значения их величин \Gamma меняются. Поэтому всякое столкновение, испытанное молекулой, выводит ее из заданного интервала d\Gamma. Полное число столкновений с переходами \Gamma,\Gamma_1\to \Gamma',\ \Gamma'_1 со всеми возможными значениями \Gamma_1,\Gamma',\ \Gamma'_1 при заданном Г, происходящих в единицу времени в объеме dV, равно интегралу:

dVd\Gamma\int{w(\Gamma',\Gamma'_1};\Gamma,\ \Gamma_1)ff_1d\Gamma_1d\Gamma'd{\Gamma'}_1(уходящие частицы)

Некоторые молекулы благодаря столкновениям попадают в интервал dГ (столкновения с переходами \Gamma',\ \Gamma^{\ '}_1\ \to \Gamma,\Gamma_1). Полное число таких столкновений ( в единицу времени в объеме dV) равно:

dVd\Gamma\int{w(\Gamma,\ \Gamma_1;\Gamma',\Gamma'_1})f'{f'}_1d\Gamma_1d\Gamma'd{\Gamma'}_1(приходящие частицы).

Если вычесть число актов ухода их числа актов прихода, понятно, что в результате всех столкновений рассматриваемое число молекул увеличивается в 1с на

    \[dVd\Gamma\int{(w'}f'{f'}_1-wff_1)d\Gamma_1d\Gamma'd{\Gamma'}_1\]

где w'=w\left(\Gamma,\ \Gamma_1;\Gamma',\Gamma'_1\right),\ w=w\left(\Gamma',{\Gamma'}_1;\ \Gamma,\ \Gamma_1\right).

Для качественного рассмотрения кинетических явлений в газе используется грубая оценка интеграла столкновений с помощью понятия длины свободного пробега l (некоторого среднего расстояния, проходимого молекулой между двумя последовательными столкновениями). Отношение \tau \sim \frac{l}{v} называют временем свободного пробега. Для грубой оценки интеграла столкновений полагают:

    \[St\ f\sim -\frac{f-f_0}{\tau }\sim -\frac{\mathop{v}\limits^{\leftharpoonup}}{l}\left(f-f_0\right)(3)\]

Разность в числителе (3) учитывает, что интеграл столкновений обращается в 0 для равновесной функции распределения. Знак минус выражает тот факт, что столкновения являются механизмом установления статистического равновесия.

Кинетическое уравнение Больцмана

Кинетическое уравнение Больцмана даёт микроскопическое описание эволюции состояния газа малой плотности. Кинетическое уравнение — это уравнение первого порядка по времени, оно описывает необратимый переход системы из некоторого начального неравновесного состояния с функцией распределения f_0 в конечное равновесное состояние с наиболее вероятной функцией распределения.

Решение кинетического уравнения весьма сложно с математической точки зрения. Трудности его решения обусловлены многомерностью функции, зависящей от семи скалярных переменных, и сложным видом правой части уравнения.

Если функция распределения зависит только от координаты x и составляющей скорости v_x кинетическое уравнение Больцмана имеет вид:

    \[\frac{\partial f}{\partial t}+v_x\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{F}{m}\frac{\partial f}{\partial v_x}={\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{st}\left(4\right)\]

    \[{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{st}=\iint{\left(f'{f'}_1-ff_1\right)\left|\left(v_1-v\right)\right|d\sigma d{\sigma }_1,}\]

где f,'{f'}_1 и f,f_1 функции распределения молекул до столкновения и после столкновения; v_1,\ v – скорости молекул; d\sigma— дифференциальное эффективное сечение рассеяния в телесный угол dW, зависящее от взаимодействия молекул. {\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{st}— изменение функции распределения в следствии столкновений. \frac{\partial f}{\partial t}-изменение плотности числа частиц . F— сила, действующая на частицу.

Если газ состоит из частиц одного сорта, кинетическое уравнение можно записать в виде:

    \[\frac{\partial f}{\partial t}+\left(\overrightarrow{v}\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{r}}\right)+\frac{1}{m}\left(\overrightarrow{F}\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}\right)={\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{st}\left(5\right)\]

где \overrightarrow{F}=\overrightarrow{F\ }\left(\overrightarrow{r},t\right), f=f\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{r},t\right)d\overrightarrow{v}d\overrightarrow{r} – среднее число частиц в элементе фазового объема d\overrightarrow{v}d\overrightarrow{r} около точки (\overrightarrow{v},\overrightarrow{r}),\ \frac{\partial f}{\partial t}-изменение плотности числа частиц около точки (\overrightarrow{v},\overrightarrow{r}) в момент времени t за единицу времени.

Уравнение Больцмана справедливо если:

  • происходят только парные столкновения молекул: оно справедливо лишь при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в которой происходит столкновение;
  • справедливо предположение о молекулярном хаосе. Вероятность обнаружения частицы 1 в фазовой точке (\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{v_1}) и частицы 2 в фазовой точке \left(\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{v_2}\right) независимы друг от друга;
  • равновероятны столкновения молекул с любым прицельным расстоянием (функция распределения не меняется на диаметре взаимодействия).

Если система находится в состоянии статистического равновесия, то интеграл столкновений обращается в ноль и решением уравнения Больцмана будет распределение Максвелла. Решение уравнения Больцмана для соответствующих условий позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопические уравнения для различных процессов переноса (диффузии, вязкости, теплопроводности). В поле тяготения земли решение уравнения Больцмана есть известная барометрическая формула.

На Основе решений уравнения Больцмана объясняется макроскопическое поведение газа, вычисление коэффициентов вязкости, теплопроводности.

Кинематическое уравнение является основным уравнением динамики разреженных газов и применяется для аэродинамического расчёта летательных аппаратов на больших высотах полёта.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Получить уравнение непрерывности из уравнения Больцмана. Считать, что газ состоит из одинаковых частиц, поля внешних сил нет.
Решение Запишем уравнение Больцмана в виде:

    \[    \frac{\partial f}{\partial t}+\left(\overrightarrow{v}\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{r}}\right)={\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{st} \ (1.2) \]

Рассмотри левую часть равенства (1.2). Умножим каждое слагаемое на массу молекулы m и проинтегрируем по dГ, получим:

    \[    \int{m\frac{\partial f}{\partial t}}d\Gamma+\int{m\left(\overrightarrow{v}\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{r}}\right)d\Gamma} \ (1.3) \]

Интеграл N\left(t,\overrightarrow{r}\right)=\int{f\left(t,\overrightarrow{r},\Gamma\right)d\Gamma} – концентрация молекул газа в пространстве. m\cdot N=\rhoплотность газа.

Столкновения не меняют числа сталкивающихся частиц, соответственно, столкновительная часть изменения функции распределения не может привести к изменению плотности газа в каждом элементе объема газа.

Соответственно из (1.3) получаем:

    \[\frac{\partial }{\partial t}m\int{f}d\Gamma+\overrightarrow{v}\frac{\partial }{\partial \overrightarrow{r}}m\int{fd\Gamma}=\frac{\partial }{\partial t}mN+\overrightarrow{v}\frac{\partial }{\partial \overrightarrow{r}}mN=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\overrightarrow{v}\frac{\partial \rho }{\partial \overrightarrow{r}}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\overrightarrow{v}div\rho\ \ (1.4)\]

Рассмотрим интеграл столкновений правой части уравнения (1.2).

{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{st}=\int{w'\left(f'{\ f}'_1-ff_1\right)d\Gamma_1d\Gamma'}d\Gamma'_2 ( по определению).

Проведем интегрирование по dГ:

    \[    \int{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{st}d\Gamma}=\int{w'\ f'{\ f}'_1d^4\Gamma-\int{wff_1}}d^4\Gamma \ (1.5) \]

где d^4\Gamma=d\Gamma_1d\Gamma'd\Gamma'_2d\Gamma, так как интегрирование проводится по каждой переменной \Gamma_1\Gamma'_2, \Gamma', Г, то значит можно произвести переобозначения переменных ( например во втором интеграле) и при этом интеграл не изменится:

    \[\int{{\left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)}_{st}d\Gamma}=\int{w\left(\Gamma,\ \Gamma_1;\Gamma',\Gamma'_1\right)\ f'{\ f}'_1d^4\Gamma-\int{w\left(\Gamma',{\Gamma'}_1;\ \Gamma,\ \Gamma_1\right)ff_1}}d^4\Gamma=\]

    \[\int{w\left(\Gamma,\ \Gamma_1;\Gamma',\Gamma'_1\right)\ f'{\ f}'_1d^4\Gamma}-\int{w\left(\Gamma,\ \Gamma_1;\Gamma',\Gamma'_1\right)ff_1d^4\Gamma}=0\ \ (1.6)\]

Подставляем в (1.2) уравнения (1.4) и (1.6), получим:

\frac{\partial \rho }{\partial t}+\overrightarrow{v}div\rho =0 – уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения массы газа.

Ответ Таким образом, мы из уравнения Больцмана (кинетического уравнения) получили уравнение непрерывности: \frac{\partial \rho }{\partial t}+\overrightarrow{v}div\rho =0
ПРИМЕР 2
Задание В начальный момент времени t=0 газ температуры T занимает полупространство x<0. Определить распределение плотности молекул в последующие моменты времени, если столкновениями молекул пренебречь. N_0 начальная плотность распределения молекул, m – масса молекулы.
Кинетическое уравнение

рис. 1

Решение Запишем кинетическое уравнение с учетом того, столкновений молекул нет:

    \[    \frac{\partial f}{\partial t}+\overrightarrow{v}\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{r}}=0 \ (2.1) \]

общее решение уравнения (2.1) есть: f=f\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{v}t,\ \overrightarrow{v}\right). Используем начальное условие, запишем: f=f_0\left(v\right) при v_x>\frac{x}{t},\ f=0 при v_x<\frac{x}{t},

где f_0\left(v\right) распределение Максвелла молекул по скоростям (dN_{v_xv_yv_z}=Nf\left(v\right)dv_x{dv}_y{dv}_z).

Пример кинетического уравнения

рис. 2

Плотность газа:

    \[N\left(t,x\right)=\int^{\infty }{\int_{-\infty }{\int^{\infty }_{\frac{x}{t}}{f_0\left(v\right)m^3dv_xdv_ydv_z}=\frac{N_0}{2}}}\left[1-S(\frac{x}{t}\sqrt{\frac{m}{2T}})\right]\]

где S\left(\varepsilon \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int^{\varepsilon }_0{e^{-y^2}dy},\ N_0 — начальная плотность.

Необходимо отметить, что если пренебречь столкновениями молекул, то полученные формулы верны, лишь в области \left|x\right|\ll l.

Ответ Распределение плотности молекул, если молекулы не сталкиваются между собой определяется формулой: N\left(t,x\right)=\int^{\infty }{\int_{-\infty }{\int^{\infty }_{\frac{x}{t}}{f_0\left(v\right)m^3dv_xdv_ydv_z}=\frac{N_0}{2}}}\left[1-S(\frac{x}{t}\sqrt{\frac{m}{2T}})\right],

где S\left(\varepsilon \right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\int^{\varepsilon }_0{e^{-y^2}dy}

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.