Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тригонометрические неравенства и их решения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Тригонометрическими неравенствами называются неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Решение тригонометрических неравенств

Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида:

    \[\sin x<a,\quad \cos x<a,\quad \text{tg}x<a,\quad \text{ctg}x<a,\]

    \[\sin x>a,\quad \cos x>a,\quad \text{tg}x>a,\quad \text{ctg}x>a,\]

    \[\sin x\le a,\quad \cos x\le a,\quad \text{tg}x\le a,\quad \text{ctg}x\le a,\]

    \[\sin x\ge a,\quad \cos \ge a,\quad \text{tg}x\ge a,\quad \text{ctg}x\ge a.\]

Решаются простейшие тригонометрические неравенства графически или с помощью единичной тригонометрической окружности.

По определению, синусом угла \alpha есть ординатой точки {{P}_{\alpha }}\left( x,y \right) единичного круга (рис. 1), а косинусом – абсцисса этой точки. Этот факт используется при решении простейших тригонометрических неравенств с косинусом и синусом с помощью единичного круга.

Рис. 1

Примеры решения тригонометрических неравенств

ПРИМЕР 1
Задание Решить неравенство

    \[ \sin x\le \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Решение Поскольку

    \[ \left| \frac{\sqrt{3}}{2} \right|<1 \]

, то это неравенство имеет решение и его можно решить двумя способами.

Первый способ. Решим это неравенство графически. Для этого построим в одной системе координат график синуса y=\sin x и прямой y=\frac{\sqrt{3}}{2} (рис. 2).

Рис. 2

Выделим промежутки, на которых синусоида расположена ниже графика прямой y=\frac{\sqrt{3}}{2}. Найдем абсциссы {{x}_{1}} и {{x}_{2}} точек пересечения этих графиков:

    \[{{x}_{1}}=\pi -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3} \]

    \[{{x}_{2}}=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi =\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}\]

Получили интервал \left[ -\frac{4\pi }{3};\ \frac{\pi }{3} \right], но так как функцию y=\sin x периодическая и имеет период 2\pi, то ответом будет объединение интервалов: \left[ \frac{2\pi }{3}+2\pi k;\ \frac{7\pi }{3}+2\pi k \right],\quad k\in Z.

Второй способ. Построим единичную окружность и прямую y=\frac{\sqrt{3}}{2}, точки их пересечения обозначим {{P}_{{{x}_{1}}}} и {{P}_{{{x}_{2}}}} (рис. 3). Решением исходного неравенства будет множество точек ординаты, которых меньше \frac{\sqrt{3}}{2}. Найдем значение {{x}_{1}} и {{x}_{2}}, совершая обход против часовой стрелки, {{x}_{1}}<{{x}_{2}}:

Рис. 3

    \[{{x}_{1}}=\pi -\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3} \]

    \[{{x}_{2}}=\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi =\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}\]

Учитывая периодичность функции синус, окончательно получим интервалы \left[ \frac{2\pi }{3}+2\pi k;\ \frac{7\pi }{3}+2\pi  \right],\quad k\in Z.

Ответ x\in \left[ \frac{2\pi }{3}+2\pi k;\ \frac{7\pi }{3}+2\pi  \right],\quad k\in Z
ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство \sin x>2
Решение Синус – функция ограниченная: \left| \sin x \right|\le 1, а правая часть данного неравенства больше единицы, поэтому решений нет.
Ответ решений нет.
ПРИМЕР 3
Задание Решить неравенство \cos x>\frac{1}{2}
Решение Данное неравенство можно решить двумя способами: графически и с помощью единичного круга. Рассмотрим каждый из способов.

Первый способ. Изобразим в одной системе координат функции, описывающие левую и правую части неравенства, то есть y=\cos x и y=\frac{1}{2}. Выделим промежутки, на которых график функции косинус y=\cos x расположен выше графика прямой y=\frac{1}{2} (рис. 4).

Рис. 4

Найдем абсциссы точек {{x}_{1}} и {{x}_{2}} – точек пересечения графиков функций y=\cos x и y=\frac{1}{2}, которые являются концами одного из промежутков, на котором выполняется указанное неравенство.

    \[{{x}_{1}}=-\arccos \frac{1}{2}=-\frac{\pi }{3};\quad    {{x}_{1}}=\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}\]

Учитывая, что косинус – функция периодическая, с периодом 2\pi, ответом будет значения x из промежутков \left( -\frac{\pi }{3}+2\pi k;\ \frac{\pi }{3}+2\pi k \right),\quad k\in Z.

Рис. 5

Второй способ. Построим единичную окружность и прямую x=\frac{1}{2} (так как на единичной окружности косинусам отвечает ось абсцисс). Обозначим {{P}_{{{x}_{1}}}} и {{P}_{{{x}_{2}}}} (рис. 5) – точки пересечения прямой и единичной окружности. Решением исходного уравнения будет множество точек абсциссы, которых меньше \frac{1}{2}. Найдем значение {{x}_{1}} и {{x}_{2}}, совершая обход против часовой стрелки так, чтобы {{x}_{1}}<{{x}_{2}}:

    \[{{x}_{1}}=-\arccos \frac{1}{2}=-\frac{\pi }{3};\quad    {{x}_{1}}=\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}\]

Учитывая периодичность косинуса, окончательно получим интервалы \left( -\frac{\pi }{3}+2\pi k;\ \frac{\pi }{3}+2\pi k \right),\quad k\in Z.

Ответ x\in \left( -\frac{\pi }{3}+2\pi k;\ \frac{\pi }{3}+2\pi k \right),\quad k\in Z
ПРИМЕР 4
Задание Решить неравенство

    \[\text{ctg}x\le -\frac{\sqrt{3}}{3}\]

Решение Построим в одной системе координат графики функций

    \[ y=\text{ctg}x \text{ },\text{ } y=-\frac{\sqrt{3}}{3} \]

Выделим промежутки, на которых график функции y=\text{ctg}x расположен не выше графика прямой y=-\frac{\sqrt{3}}{3} (рис. 6).

Рис. 6

Найдем абсциссу точки {{x}_{0}}, которая является концом одного из промежутков, на котором неравенство

    \[{{x}_{0}}=\text{arcctg}\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)=\pi -\text{arcctg}\left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}\]

Другим концом этого промежутка есть точка \pi, а функция y=\text{ctg}x в этой точке неопределенна. Таким образом, одним из решением данного неравенства является промежуток \frac{2\pi }{3}\le x<\pi. Учитывая, что котангенс функция периодическая, с периодом \pi, то окончательно получим \left[ \frac{2\pi }{3}+\pi k;\ \pi +\pi k \right),\quad k\in Z.

Ответ x\in \left[ \frac{2\pi }{3}+\pi k;\ \pi +\pi k \right),\quad k\in Z

Тригонометрические неравенства со сложным аргументом

Тригонометрические неравенства со сложным аргументом можно свести к простейшим тригонометрическим неравенствам с помощью замены. После его решения делается обратная замена и выражается исходная неизвестная.

ПРИМЕР 5
Задание Решить неравенство 2\cos \,\left( 2x+{{100}^{\circ }} \right)\le -1
Решение Выразим в правой части данного неравенства косинус:

    \[\cos \,\left( 2x+{{100}^{\circ }} \right)\le -\frac{1}{2}\]

Ведем замену t=2x+{{100}^{\circ }}, после чего данное неравенство преобразуется к простейшему неравенству

    \[\cos \,\,t\le -\frac{1}{2}\]

Рис. 7

Решим его, используя единичную окружность. Построим единичный круг и прямую x=-\frac{1}{2}. Обозначим {{P}_{1}} и {{P}_{2}} – точки пересечения прямой и единичной окружности (рис. 7). Решением исходного неравенства будет множество точек абсциссы, которых не больше -\frac{1}{2}. Точке {{P}_{1}} соответствует угол {{120}^{\circ }}, а точке {{P}_{2}}{{240}^{\circ }}. Таким образом, учитывая период косинуса, получим

    \[{{120}^{\circ }}+{{360}^{\circ }}\cdot n\le \,t\le {{240}^{\circ }}+{{360}^{\circ }}\cdot n, n\in Z\]

Сделаем обратную замену t=2x+{{100}^{\circ }}

    \[{{120}^{\circ }}+{{360}^{\circ }}\cdot n\le \,2x+{{100}^{\circ }}\le {{240}^{\circ }}+{{360}^{\circ }}\cdot n, n\in Z\]

Выразим x, для сначала этого из каждой части неравенства вычтем {{100}^{\circ }}

    \[{{120}^{\circ }}-{{100}^{\circ }}+{{360}^{\circ }}\cdot n\le 2\,x+{{100}^{\circ }}-{{100}^{\circ }}\le {{240}^{\circ }}-{{100}^{\circ }}+{{360}^{\circ }}\cdot n, n\in Z \]

    \[{{20}^{\circ }}+{{360}^{\circ }}\cdot n\le \,2x\le {{140}^{\circ }}+{{360}^{\circ }}\cdot n, n\in Z \]

а затем, разделим на 2

    \[\frac{{{20}^{\circ }}+{{360}^{\circ }}\cdot n}{2}\le \,\frac{2x}{2}\le \frac{{{140}^{\circ }}+{{360}^{\circ }}\cdot n}{2}, n\in Z \]

    \[{{10}^{\circ }}+{{180}^{\circ }}\cdot n\le \,x\le {{70}^{\circ }}+{{180}^{\circ }}\cdot n, n\in Z\]

Ответ x\in \left( {{10}^{\circ }}+{{180}^{\circ }}\cdot n;\ {{10}^{\circ }}+{{180}^{\circ }}\cdot n \right),\quad n\in Z

Двойные тригонометрические неравенства

ПРИМЕР 6
Задание Решить двойное тригонометрическое неравенство

    \[ \frac{1}{2}<\sin \frac{x}{2}\le \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Решение Введем замену t=\frac{x}{2}, тогда исходное неравенство примет вид

    \[\frac{1}{2}<\sin t\le \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Рис. 8

Решим его, используя единичную окружность. Так как на единичной окружности синусу соответствует ось ординат, выделим на ней множество ординаты которых больше \frac{1}{2} и меньше или равно \frac{\sqrt{2}}{2}. На рисунке 8 эти точки будут расположены на дугах {{P}_{{{t}_{1}}}}{{P}_{{{t}_{2}}}} и {{P}_{{{t}_{3}}}}{{P}_{{{t}_{4}}}}. Найдем значение {{t}_{1}},\ {{t}_{2}},\ {{t}_{3}},\ {{t}_{4}}, совершая обход против часовой стрелки, причем t{}_{1}<{{t}_{2}},\quad t{}_{3}<{{t}_{4}}:

    \[{{t}_{1}}=\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6};\quad     {{t}_{2}}=\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4} \]

    \[{{t}_{3}}=\pi -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};\quad     {{t}_{4}}=\pi -\arcsin \frac{1}{2}=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}\]

Таким образом, получаем два интервала, которые, учитывая периодичность функции синус, можно записать следующим образом

    \[\frac{\pi }{6}+2\pi k\le t\frac{\pi }{4}+2\pi k \qquad \frac{3\pi }{4}+2\pi k<t\le \frac{5\pi }{6}+2\pi k,   k\in Z\]

Сделаем обратную замену t=\frac{x}{2}

    \[\frac{\pi }{6}+2\pi k\le \frac{x}{2}\frac{\pi }{4}+2\pi k \qquad \frac{3\pi }{4}+2\pi k<\frac{x}{2}\le \frac{5\pi }{6}+2\pi k,   k\in Z\]

Выразим x, для этого умножим все стороны обои неравенств на 2, получим

    \[\frac{\pi }{3}+4\pi k\le x<\frac{\pi }{2}+4\pi k, \qquad \frac{3\pi }{2}+4\pi k<x\le \frac{5\pi }{3}+4\pi k,   k\in Z\]

Ответ x\in \left( \frac{\pi }{3}+4\pi k;\ \frac{\pi }{2}+4\pi k \right]\cup \left[ \frac{3\pi }{2}+4\pi k;\ \frac{5\pi }{3}+4\pi k \right), \quad   k\in Z