Тригонометрические формулы двойного аргумента

Синус двойного угла

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

Косинус двойного угла

$\cos 2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1=1-2{{\sin }^{2}}\alpha$

Тангенс двойного угла

$\text{tg}2\alpha =\frac{2\text{tg}\alpha }{1-\text{tg}^{2}\alpha }$

Котангенс двойного угла

$\text{ctg}2\alpha =\frac{\text{ctg}^{2}\alpha -1}{2\text{ctg}\alpha }$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить $\sin 2\alpha$ , если $\sin \alpha -\cos \alpha =p$

Решение

В данном в условие равенстве возведем в квадрат правую и левую части:

${{\left( \sin \alpha -\cos \alpha \right)}^{2}}={{p}^{2}}$

${{\sin }^{2}}\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{p}^{2}}$

Из основного тригонометрического тождества следует, что ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$ . Тогда

$1-2\sin \alpha \cos \alpha ={{p}^{2}}, \quad 2\sin \alpha \cos \alpha =1-{{p}^{2}}$

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

Таким образом,

$\sin 2\alpha =1-{{p}^{2}}$

Ответ

$\sin 2\alpha =1-{{p}^{2}}$

ПРИМЕР 2

Задание

Преобразовать в произведение $3+4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha$

Решение

Используя формулу косинуса двойного угла, запишем $\cos 8\alpha =2{{\cos }^{2}}4\alpha -1$ и подставим в выражение из условия:

$3+4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha =3+4\cos 4\alpha +2{{\cos }^{2}}4\alpha -1=2{{\cos }^{2}}4\alpha +4\cos 4\alpha +2=$

$=2({{\cos }^{2}}4\alpha +2\cos 4\alpha +1)=2{{(\cos 4\alpha +1)}^{2}}$

Ответ

$3+4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha=2{{(\cos 4\alpha +1)}^{2}}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!