Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тригонометрические формулы двойного аргумента

Синус двойного угла

    \[\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \]

Косинус двойного угла

    \[\cos 2\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha =2{{\cos }^{2}}\alpha -1=1-2{{\sin }^{2}}\alpha \]

Тангенс двойного угла

    \[\text{tg}2\alpha =\frac{2\text{tg}\alpha }{1-\text{tg}^{2}\alpha }\]

Котангенс двойного угла

    \[\text{ctg}2\alpha =\frac{\text{ctg}^{2}\alpha -1}{2\text{ctg}\alpha }\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить \sin 2\alpha, если \sin \alpha -\cos \alpha =p
Решение В данном в условие равенстве возведем в квадрат правую и левую части:

    \[{{\left( \sin \alpha -\cos \alpha \right)}^{2}}={{p}^{2}}\]

тогда, согласно формуле сокращенного умножения «квадрат разности»

    \[{{\sin }^{2}}\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{{\cos }^{2}}\alpha ={{p}^{2}}\]

Из основного тригонометрического тождества следует, что {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1. Тогда

    \[1-2\sin \alpha \cos \alpha ={{p}^{2}}, \quad 2\sin \alpha \cos \alpha =1-{{p}^{2}}\]

Запишем формулу синуса двойного угла

    \[\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \]

Таким образом,

    \[\sin 2\alpha =1-{{p}^{2}}\]

Ответ \sin 2\alpha =1-{{p}^{2}}
ПРИМЕР 2
Задание Преобразовать в произведение 3+4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha
Решение Используя формулу косинуса двойного угла, запишем \cos 8\alpha =2{{\cos }^{2}}4\alpha -1 и подставим в выражение из условия:

    \[ 3+4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha =3+4\cos 4\alpha +2{{\cos }^{2}}4\alpha -1=2{{\cos }^{2}}4\alpha +4\cos 4\alpha +2=\]

    \[ =2({{\cos }^{2}}4\alpha +2\cos 4\alpha +1)=2{{(\cos 4\alpha +1)}^{2}} \]

Ответ 3+4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha=2{{(\cos 4\alpha +1)}^{2}}