Разность котангенсов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Разность котангенсов двух углов $\alpha$ и $\beta$ равна отношению синуса разности $\alpha -\beta$ к произведению синусов этих углов, взятому со знаком «минус»:

$\text{ctg }\alpha -\text{ctg }\beta =\frac{-\sin (\alpha -\beta )}{\sin \alpha \cdot \sin \beta }$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Упростить выражение $\text{ctg }({{225}^{\circ}}+3\alpha )-\text{ctg }({{195}^{\circ}}+3\alpha )$

Решение

Воспользуемся формулой разности котангенсов

$\text{ctg }({{225}^{\circ}}+3\alpha )-\text{ctg }({{195}^{\circ}}+3\alpha )=-\frac{\sin ({{225}^{\circ}}+3\alpha -{{195}^{\circ}}-3\alpha )}{\sin ({{225}^{\circ}}+3\alpha )\cdot \cos ({{195}^{\circ}}+\alpha )}=$

$=-\frac{\sin {{30}^{\circ}}}{\sin ({{225}^{\circ}}+3\alpha )\cdot \sin ({{195}^{\circ}}+3\alpha )}$

Подставим значение $\sin {{30}^{\circ}}=\frac{1}{2}$ , а к выражению в знаменателе применим формулу произведения синусов

$-\frac{\sin {{30}^{\circ}}}{\sin ({{225}^{\circ}}+3\alpha )\cdot \sin ({{195}^{\circ}}+3\alpha )}=-\frac{1}{\cos {{30}^{\circ}}-\cos ({{420}^{\circ}}+6\alpha )}$

Подставим значение $\cos {{30}^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ :

$\cos ({{420}^{\circ}}+6\alpha )=\cos (2\cdot {{180}^{\circ}}+{{60}^{\circ}}+6\alpha )=\cos ({{60}^{\circ}}+6\alpha )=\frac{1}{2}(\cos 6\alpha -\sqrt{3}\sin 6\alpha )$

т.е. окончательно можно записать

$\text{ctg }({{225}^{\circ}}+3\alpha )-\text{ctg }({{195}^{\circ}}+3\alpha )=-\frac{2}{\sqrt{3}-\cos 6\alpha +\sqrt{3}\sin 6\alpha }$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти значение выражения $\text{ctg }{{165}^{\circ}}-\text{ctg }{{75}^{\circ}}$

Решение

Преобразуем искомую разность следующим образом:

$\text{ctg }{{165}^{\circ}}-\text{ctg }{{75}^{\circ}}=\frac{-\sin ({{165}^{\circ}}-{{75}^{\circ}})}{\sin {{165}^{\circ}}\cdot \sin {{75}^{\circ}}}=\frac{-\sin {{90}^{\circ}}}{\frac{1}{2}(\cos {{90}^{\circ}}-\cos {{240}^{\circ}})}=$

$=-\frac{2\cdot 1}{0-\cos ({{180}^{\circ}}+{{60}^{\circ}})}=-\frac{2}{\frac{1}{2}}=-4$

Ответ

$\text{ctg }{{165}^{\circ}}-\text{ctg }75=-4$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Разность котангенсов

Примеры решения задач