Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Котангенс угла

Определение и формула котангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему катету.

Котангенс угла \alpha обозначается \text{ctg}\alpha.

Рис.1

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с \angle C={{90}^{\circ}}, \quad \angle A=\alpha , \quad \angle B=\beta, гипотенузой AB=c и катетами AC=b и BC=a (рис.1). Тогда

    \[\text{ctg}\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}, \quad \text{ctg}\alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}\]

Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Выберем произвольный угол \alpha, которому на окружности соответствует точка A({{x}_{0}},{{y}_{0}}).

Опустим перпендикуляры на оси координат, тогда

    \[\text{ctg}\alpha =\frac{OB}{AB}=\frac{{{x}_{0}}}{{{y}_{0}}}\]

т.е. котангенсом угла есть отношение абсциссы точки А к ее ординате. Так как синус угла равен значению ординаты точки А, а косинус угла равен значению абсциссы, то

    \[\text{ctg}\alpha =\frac{{{x}_{0}}}{{{y}_{0}}}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\]

Функция y=\text{ctg}\ x является периодической с периодом T=\pi, т.е.

    \[\text{ctg}(\pi +\alpha )=\text{ctg}\alpha \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB=3 см и AC=5 см найти котангенсы углов B и C.
Решение Так как котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к противолежащему, то можем записать, что

    \[\text{ctg}\angle B=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}, \quad \text{ctg}\angle C=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{3}\]

Ответ \text{ctg}\angle B=\frac{3}{5}, \quad \text{ctg}\angle C=\frac{5}{3}
ПРИМЕР 2
Задание Найти \text{ctg}\alpha, если

    \[ \frac{4\sin \alpha +\cos \alpha }{\cos \alpha -2\sin \alpha }=3 \]

Решение Преобразуем заданное выражение следующим образом:

    \[4\sin \alpha +\cos \alpha =3(\cos \alpha -2\sin \alpha )\]

или

    \[-2\cos \alpha =-10\sin \alpha \Rightarrow \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{10}{2}=5\]

Так как \text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }, то имеем, что

    \[\text{ctg}\alpha =5\]

Ответ \text{ctg}\alpha =5