Котангенс суммы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Котангенс суммы двух углов вычисляется по формуле

$\text{ctg }(\alpha +\beta )=\frac{\text{ctg }\alpha \cdot \text{ctg }\beta -1}{\text{ctg }\alpha +\text{ctg }\beta }$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить $\text{ctg }{{165}^{\circ}}$

Решение

Представим угол ${{165}^{\circ}}$ в виде суммы ${{120}^{\circ}}+{{45}^{\circ}}$ и применим формулу для вычисления котангенса суммы

$\text{ctg }{{165}^{\circ}}=\text{ctg }({{120}^{\circ}}+{{45}^{\circ}})=\frac{\text{ctg }{{120}^{\circ}}\cdot \text{ctg }{{45}^{\circ}}-1}{\text{ctg }{{120}^{\circ}}+\text{ctg }{{45}^{\circ}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}-1}{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+3}=$

$=\frac{(\sqrt{3}-3)(\sqrt{3}-3)}{(\sqrt{3}+3)(\sqrt{3}-3)}=\frac{3-6\sqrt{3}+9}{3-9}=\frac{12-6\sqrt{3}}{-6}=-2+\sqrt{3}$

Ответ

$\text{ctg }{{165}^{\circ}}=-2+\sqrt{3}$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти $\text{ctg }(\alpha +\beta )$ , если известно, что $\sin \alpha =\frac{1}{3}$ , а $\cos \beta =\frac{1}{5}$ и углы $\alpha ,\beta$ лежат в первой четверти.

Решение

Используя основное тригонометрическое тождество, найдем значения $\cos \alpha$ и $\sin \beta$ :

$\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\frac{2\sqrt{2}}{3}, \quad \sin \beta =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\beta }=\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Найдем значения $\text{ctg }\alpha$ и $\text{ctg }\beta$ :

$\text{ctg }\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\sqrt{2}, \quad \text{ctg }\beta =\frac{\cos \beta }{\sin \beta }=2\sqrt{6}$

Полученные результаты подставим в формулу котангенса суммы:

$\text{ctg }(\alpha +\beta )=\frac{\text{ctg }\alpha \cdot \text{ctg }\beta -1}{\text{ctg }\alpha +\text{ctg }\beta }=\frac{2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}-1}{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}=\frac{8\sqrt{3}-1}{2(\sqrt{2}+\sqrt{6})}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Котангенс суммы

Примеры решения задач