Котангенс половинного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Формула для котангенса половинного угла

$\text{ctg }\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }$

Также котангенс половинного угла можно записать в виде

$\text{ctg }\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти $\text{ctg }\frac{\alpha }{2}$ , если $\sin \alpha =\frac{1}{3}$ , угол $\alpha$ лежит в первой четверти.

Решение

Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, найдем значение косинуса угла $\alpha$ :

$\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Подставим значения синуса и косинуса в формулу для котангенса половинного угла, будем в результате иметь

$\text{ctg }\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=3+2\sqrt{2}$

Ответ

$\text{ctg }\frac{\alpha }{2}=3+2\sqrt{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти значение $\text{ctg }{{75}^{\circ}}$

Решение

Заметим, что ${{75}^{\circ}}=\frac{{{150}^{\circ}}}{2}$ . Поэтому можем записать, что

$\text{ctg }{{75}^{\circ}}=\text{ctg }\frac{{{150}^{\circ}}}{2}$

Далее будем использовать формулу котангенса половинного угла:

$\text{ctg }{{75}^{\circ}}=\text{ctg }\frac{{{150}^{\circ}}}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos {{150}^{\circ}}}{1-\cos {{150}^{\circ}}}}=\sqrt{\frac{1+\cos ({{180}^{\circ}}-{{30}^{\circ}})}{1-\cos ({{180}^{\circ}}-{{30}^{\circ}})}}=\sqrt{\frac{1-\cos {{30}^{\circ}}}{1+\cos {{30}^{\circ}}}}=$

$=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{\left( 2-\sqrt{3} \right)\left( 2-\sqrt{3} \right)}{\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( 2-\sqrt{3} \right)}}=\sqrt{\frac{{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}{4-3}}=2-\sqrt{3}$

Ответ

$\text{ctg }{{75}^{\circ}}=2-\sqrt{3}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Котангенс половинного угла

Примеры решения задач