Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Котангенс половинного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формула для котангенса половинного угла

    \[ \text{ctg }\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha } \]

Также котангенс половинного угла можно записать в виде

    \[\text{ctg }\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти \text{ctg }\frac{\alpha }{2}, если \sin \alpha =\frac{1}{3}, угол \alpha лежит в первой четверти.
Решение Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, найдем значение косинуса угла \alpha:

    \[\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\]

Подставим значения синуса и косинуса в формулу для котангенса половинного угла, будем в результате иметь

    \[\text{ctg }\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=3+2\sqrt{2}\]

Ответ \text{ctg }\frac{\alpha }{2}=3+2\sqrt{2}
ПРИМЕР 2
Задание Найти значение \text{ctg }{{75}^{\circ}}
Решение Заметим, что {{75}^{\circ}}=\frac{{{150}^{\circ}}}{2}. Поэтому можем записать, что

    \[\text{ctg }{{75}^{\circ}}=\text{ctg }\frac{{{150}^{\circ}}}{2}\]

Далее будем использовать формулу котангенса половинного угла:

    \[  \text{ctg }{{75}^{\circ}}=\text{ctg }\frac{{{150}^{\circ}}}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos {{150}^{\circ}}}{1-\cos {{150}^{\circ}}}}=\sqrt{\frac{1+\cos ({{180}^{\circ}}-{{30}^{\circ}})}{1-\cos ({{180}^{\circ}}-{{30}^{\circ}})}}=\sqrt{\frac{1-\cos {{30}^{\circ}}}{1+\cos {{30}^{\circ}}}}= \]

    \[  =\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{\left( 2-\sqrt{3} \right)\left( 2-\sqrt{3} \right)}{\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( 2-\sqrt{3} \right)}}=\sqrt{\frac{{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}{4-3}}=2-\sqrt{3}\]

Ответ \text{ctg }{{75}^{\circ}}=2-\sqrt{3}