Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Котангенс двойного угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формула для котангенса двойного угла

    \[ \text{ctg }2\alpha =\frac{\text{ctg }^{2}\alpha -1}{2\text{ctg }\alpha }\]

Вывод формулы котангенса двойного угла

Ее можно получить, используя формулу для котангенса суммы углов

    \[\text{ctg }(\alpha +\beta )=\frac{\text{ctg }\alpha \cdot \text{ctg }\beta -1}{\text{ctg }\beta +\text{ctg }\alpha }\]

положив в ней \beta =\alpha. Действительно,

    \[\text{ctg }2\alpha =\text{ctg }(\alpha +\alpha )=\frac{\text{ctg }\alpha \cdot \text{ctg }\alpha -1}{\text{ctg }\alpha +\text{ctg }\alpha }=\frac{\text{ctg }^{2}\alpha -1}{2\text{ctg }\alpha }\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти значение \text{ctg }2\alpha, если известно, что \sin \alpha =\frac{1}{4}, \quad \alpha лежит в первой четверти.
Решение Из основного тригонометрического тождества выразим значение косинуса угла \alpha:

    \[\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}\]

Теперь можно найти значение котангенса \alpha:

    \[\text{ctg }\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sqrt{15}}{4}:\frac{1}{4}=\sqrt{15}\]

Воспользуемся формулой для котангенса двойного угла и подставим в него найденное значение котангенса:

    \[\text{ctg }2\alpha =\frac{\text{ctg }^{2}\alpha -1}{2\text{ctg }\alpha }=\frac{{{\left( \sqrt{15} \right)}^{2}}-1}{2\sqrt{15}}=\frac{14}{2\sqrt{15}}=\frac{7}{\sqrt{15}}\]

Ответ \text{ctg }2\alpha =\frac{7}{\sqrt{15}}
ПРИМЕР 2
Задание Упростить выражение

    \[ \frac{1+\text{ctg }2\alpha \cdot \text{ctg }\alpha }{\text{tg }\alpha +\text{ctg }\alpha } \]

Решение Воспользуемся формулами

    \[\text{ctg }2\alpha =\frac{\text{ctg }^{2}\alpha -1}{2\text{ctg }\alpha }; \quad \text{tg }\alpha =\frac{1}{\text{ctg }\alpha }\]

Преобразуем заданное выражение к виду

    \[\frac{1+\text{ctg }2\alpha \cdot \text{ctg }\alpha }{\text{tg }\alpha +\text{ctg }\alpha }=\frac{1+\frac{\text{ctg }^{2}\alpha -1}{2\text{ctg }\alpha} \cdot \text{ctg }\alpha }{\frac{1}{\text{ctg }\alpha }+\text{ctg }\alpha }=\frac{2+\text{ctg }^{2}\alpha -1}{2\cdot \frac{1+\text{ctg }^{2}\alpha }{\text{ctg }\alpha }}=\frac{\text{ctg }\alpha }{2}\]

Ответ