Котангенс 90 градусов

Значение котангенса 90 градусов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Котангенс ${{90}^{\circ}}$ равен нулю, т.е.

$\text{ctg }{{90}^{\circ}}=0$

При переводе в радианы ${{90}^{\circ}}=\frac{\pi }{2}$ , следовательно,

$\text{ctg }\frac{\pi }{2}=0$

На тригонометрическом круге (рис. 1) $\text{ctg }{{90}^{\circ}}$ изображается следующим образом:

Рис. 1

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти $f\left( \frac{\pi }{2} \right)$ , если $f(x)=-2\text{ctg }x+\cos 5x-x+1$
Решение	Подставим в заданную функцию значение $x=\frac{\pi }{2}$ : $f\left( \frac{\pi }{2} \right)=-2\text{ctg }\frac{\pi }{2}+\cos \left( 5\cdot \frac{\pi }{2} \right)-\frac{\pi }{2}+1=-2\cdot 0+\cos \left( 2\pi +\frac{\pi }{2} \right)-\frac{\pi }{2}+1=1-\frac{\pi }{2}$
Ответ	$f\left( \frac{\pi }{2} \right)=1-\frac{\pi }{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Вычислить интеграл

$\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\left( x-1+\frac{3}{{{\sin }^{2}}x} \right)}dx$

Решение

Воспользуемся основными правилами интегрирования функций:

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\left( x-1+\frac{3}{{{\sin }^{2}}x} \right)}dx=\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{xdx}-\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{dx}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{3}{{{\sin }^{2}}x}}dx$

Найдем значение каждого интеграла отдельно

$\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{x}dx=\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}\left( {{\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{\pi }{3} \right)}^{2}} \right)=\frac{5{{\pi }^{2}}}{72}$

$\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{dx}=\left. x \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$

$\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{3}{{{\sin }^{2}}x}}dx=\left. -3\cdot \text{ctg }_{{}}^{{}}x \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}=-3\cdot \left( \text{ctg }\frac{\pi }{2}-\text{ctg }\frac{\pi }{3} \right)=-3\cdot \left( 0-\frac{\sqrt{3}}{3} \right)=\sqrt{3}$

Окончательно будем иметь

$\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\left( {{x}^{2}}-1+\frac{3}{{{\sin }^{2}}x} \right)}dx=\frac{5{{\pi }^{2}}}{72}-\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}=\frac{5{{\pi }^{2}}-12\pi }{72}+\sqrt{3}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Котангенс 90 градусов

Значение котангенса 90 градусов

Примеры решения задач