Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Гиперболический котангенс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Гиперболическим котангенсом называется функция вида

    \[ \text{cth}x=\frac{\text{ch}x}{\text{sh}x}; \quad \text{cth}x=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{e-{{e}^{-x}}}=\frac{{{e}^{2x}}+1}{{{e}^{2x}}-1}\]

Свойства гиперболического котангенса

Котангенс гиперболический неопределен в точке x=0, т.е. область определения D(\text{\text{cth}}\ x)=R\backslash \{0\}, а область значений E(\text{\text{cth}}\ x)=R\backslash (-1,1)

Котангенс гиперболический является нечетной функцией, которая убывает на промежутках (-\infty ,0) и (0,+\infty ).

График функции y=\text{cth}x изображен на рисунке 1.

Рис. 1

Формула сложения

    \[\text{cth}(x\pm y)=\frac{1\pm \text{cth}x\cdot \text{cth}y}{\text{cth}x\pm \text{cth}y}\]

Формула двойного угла

    \[\text{cth}2x=\frac{1+\text{cth}^{2}x}{2\text{cth}x}\]

Произведение котангенсов гиперболических

    \[\text{cth}x\cdot \text{cth}y=\frac{\text{ch}(x+y)+\text{ch}(x-y)}{\text{ch}(x+y)-\text{ch}(x-y)}\]

Формула суммы (разности) котангенсов гиперболических

    \[\text{cth}x\pm \text{cth}y=\frac{\text{sh}x\cdot \text{sh}y}{\text{sh}(x\pm y)}\]

Производная котангенса гиперболического

    \[(\text{cth}x{)}'=-\frac{1}{\text{sh}^{2}x}\]

Интеграл

    \[\int{\text{cth}x}dx=\ln \text{sh}x+C\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти приближенное значение \text{cth}\ 3
Решение Пользуясь определением котангенса гиперболического

    \[ \text{cth}x=\frac{{{e}^{2x}}+1}{{{e}^{2x}}-1} \]

, можно записать

    \[\text{cth}\ 3=\frac{{{e}^{2\cdot 3}}+1}{{{e}^{2\cdot 3}}-1}=\frac{{{\left( 2,72 \right)}^{6}}+1}{{{\left( 2,72 \right)}^{6}}-1}=\frac{404,961+1}{404,961-1}=\frac{53,7363}{55,7363}=1,0049\]

Ответ \text{cth}\ 3=1,0049
ПРИМЕР 2
Задание Доказать тождество

    \[ \text{cth}^{2}}x-1=\frac{1}{\text{sh}^{2}x} \]

Доказательство Воспользуемся представлением котангенса гиперболического в виде \text{cth}x=\frac{\text{ch}x}{\text{sh}x} и подставим в тождество:

    \[\text{cth}^{2}}x-1=\frac{\text{ch}^{2}x}{\text{sh}^{2}x}-1=\frac{\text{ch}^{2}x-\text{sh}^{2}x}{\text{sh}^{2}x}\]

Известно, что косинус гиперболический и синус гиперболический связаны соотношением \text{ch}^{2}x-\text{sh}^{2}x=1, поэтому

    \[\text{cth}^{2}x-1=\frac{\text{ch}^{2}x-\text{sh}^{2}x}{\text{sh}^{2}x}=\frac{1}{\text{sh}^{2}x}\]

Что и требовалось доказать.

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.