Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы котангенсов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Котангенсом угла \alpha называется отношения косинуса угла к синусу этого же угла. Котангенс угла \alpha обозначается \text{ctg }\alpha:

    \[\text{ctg }\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\]

Котангенс связан с тангенсом следующим соотношением:

    \[\text{ctg }\alpha =\frac{1}{\text{tg }\alpha }\]

Котангенса половинного угла

    \[\text{ctg }\frac{\alpha }{2}=\frac{1+\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }\]

Также котангенс половинного угла выражается в виде

    \[\text{ctg }\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}\]

Котангенса двойного угла

    \[\text{ctg }2\alpha =\frac{ctg^{2}\alpha -1}{2\text{ctg }\alpha }\]

Котангенс тройного угла

    \[\text{ctg }3\alpha =\frac{ctg^{3}\alpha -3\text{ctg }\alpha }{3\text{ctg}^{2}\alpha -1}\]

Сумма котангенсов

    \[\text{ctg }\alpha +\text{ctg }\beta =\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \cdot \sin \beta }\]

Разность котангенсов

    \[\text{ctg }\alpha -\text{ctg }\beta =\frac{-\sin (\alpha -\beta )}{\sin \alpha \cdot \sin \beta }\]

Котангенс суммы двух углов

    \[\text{ctg }(\alpha +\beta )=\frac{\text{ctg }\alpha \cdot \text{ctg }\beta -1}{\text{ctg }\alpha +\text{ctg }\beta }\]

Котангенс разности двух углов

    \[\text{ctg }(\alpha -\beta )=\frac{\text{ctg }\alpha \cdot \text{ctg }\beta +1}{\text{ctg }\beta -\text{ctg }\alpha }\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Известно, что \text{ctg }\alpha =4, \quad \text{ctg }\beta =\frac{5}{3}, \quad 0<\alpha <\frac{\pi }{2}, \quad 0<\beta <\frac{\pi }{2}. Найти \alpha +\beta.
Решение Запишем формулу для котангенса суммы двух углов:

    \[\text{ctg }(\alpha +\beta )=\frac{\text{ctg }\alpha \cdot \text{ctg }\beta -1}{\text{ctg }\alpha +\text{ctg }\beta }\]

Подставим в эту формулу значения котангенсов:

    \[\text{ctg }(\alpha +\beta )=\frac{4\cdot \frac{5}{3}-1}{4+\frac{5}{3}}=\frac{\frac{17}{3}}{\frac{17}{3}}=1\]

Из последнего равенства следует, что \alpha +\beta =\frac{\pi }{4}.

Ответ \alpha +\beta =\frac{\pi }{4}
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить \text{ctg }\left( \frac{5\pi }{4}+\alpha  \right)+\text{ctg }\left( \frac{5\pi }{4}-\alpha  \right), если \text{ctg }\left( \frac{7\pi }{2}+2\alpha  \right)=\frac{4}{3}
Решение Преобразуем искомую сумму:

    \[\text{ctg }\left( \frac{5\pi }{4}+\alpha  \right)+\text{ctg }\left( \frac{5\pi }{4}-\alpha  \right)=\text{ctg }\left( \pi +\frac{\pi }{4}+\alpha  \right)+\text{ctg }\left( \pi +\frac{\pi }{4}-\alpha  \right)= \]

    \[  =\text{ctg }\left( \frac{\pi }{4}+\alpha  \right)+\text{ctg }\left( \frac{\pi }{4}-\alpha  \right)\]

Воспользуемся формулой для суммы котангенсов:

    \[\text{ctg }\left( \frac{\pi }{4}+\alpha  \right)+\text{ctg }\left( \frac{\pi }{4}-\alpha  \right)=\frac{\sin \left( \frac{\pi }{4}+\alpha +\frac{\pi }{4}-\alpha  \right)}{\sin \left( \frac{\pi }{4}+\alpha  \right)\sin \left( \frac{\pi }{4}-\alpha  \right)}=\frac{\sin \frac{\pi }{2}}{\frac{1}{2}\left( \cos 2\alpha -\cos \frac{\pi }{2} \right)}=\frac{2}{\cos 2\alpha }\qquad  (1)\]

Из условия задачи известно, что \text{ctg }\left( \frac{7\pi }{2}+2\alpha  \right)=\frac{4}{3}. Это равенство можно преобразовать так:

    \[\text{ctg }\left( \frac{7\pi }{2}+2\alpha  \right)=\text{ctg }\left( 3\pi +\frac{\pi }{2}+2\alpha  \right)=\text{ctg }\left( \frac{\pi }{2}+2\alpha  \right)=-\text{tg }2\alpha =\frac{4}{3}\]

т.е. \text{tg }2\alpha =-\frac{4}{3}.

Применим формулу, выражающую косинус угла через тангенс:

    \[{{\cos }^{2}}2\alpha =\frac{1}{1+tg^{2}2\alpha} =\frac{1}{1+\frac{16}{9}}=\frac{9}{25}\]

откуда

    \[\cos 2\alpha =\frac{3}{5}\]

Подставим полученное значение в равенство (1):

    \[\text{ctg }\left( \frac{\pi }{4}+\alpha  \right)+\text{ctg }\left( \frac{\pi }{4}-\alpha  \right)=\frac{2}{\cos 2\alpha }=\frac{2\cdot 5}{3}=\frac{10}{3}\]

Ответ \text{ctg }\left( \frac{5\pi }{4}+\alpha  \right)+\text{ctg }\left( \frac{5\pi }{4}-\alpha  \right)=\frac{10}{3}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.