Теорема Ролля

ТЕОРЕМА

Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и дифференцируема на интервале $(a, b)$ , причем $f(a)=f(b)$ . Тогда существует точка $c \in [a, b]$ такая, что $f'(c)=0$ .

Теорема Ролля, является частным случаем теоремы Лагранжа (теоремы о среднем значении в дифференциальном исчислении).

Геометрический смысл теоремы Ролля. Если крайние ординаты кривой $f(x)$ равны, то есть $f(a)=f(b)$ , то на кривой найдется точка, касательная в которой будет параллельна оси $Ox$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Показать, что функция $f(x)=x^{2}-3x+2$ удовлетворяет условиям теоремы Ролля на промежутке $[1, 2]$ и найти точку $c \in [1, 2]$ , в которой $f'(c)=0$ .

Решение

Функция $f(x)=x^{2}-3x+2$ дифференцируема на промежутке $[1, 2]$ и на его концах принимает одинаковые значения:

$f(1)=f(2)=0$

Тогда, по теореме Ролля, существует точка $c \in [1, 2]$ , в которой $f'(c)=0$ .

Найдем производную заданной функции $f'(x) = 2x-3$ . Найдем значение производной в точке $c$ и приравняем полученное значение к нулю:

$f'(x)=2c-3 \text{ } \Rightarrow \text{ } c = \frac{3}{2}$

Ответ

$c = \frac{3}{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Проверить, выполняется ли теорема Ролля для функции $f(x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ на отрезке $[-1, 1]$ .

Решение

Заданная функция является непрерывной на промежутке $[-1, 1]$ и значения функции на концах этого отрезка совпадают:

$f(-1)=f(1)=1$

Найдем производную заданной функции:

$f'(x) = \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}$

Производная на интервале $(-1, 1)$ в нуль не обращается, потому что в точке $x=0$ производной не существует (она обращается в бесконечность). Таким образом, для функции $f(x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ на отрезке $[-1, 1]$ теорема Ролля не выполняется, так как данная функции не дифференцируема во всех точках $(-1, 1)$ .

Ответ

Для функции $f(x) = \sqrt[3]{x^{2}}$ теорема Ролля на отрезке $[-1, 1]$ не выполняется.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Теорема Ролля

Примеры решения задач