Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема Ролля

ТЕОРЕМА
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), причем f(a)=f(b). Тогда существует точка c \in [a, b] такая, что f'(c)=0.

Теорема Ролля, является частным случаем теоремы Лагранжа (теоремы о среднем значении в дифференциальном исчислении).

Геометрический смысл теоремы Ролля. Если крайние ординаты кривой f(x) равны, то есть f(a)=f(b), то на кривой найдется точка, касательная в которой будет параллельна оси Ox.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Показать, что функция f(x)=x^{2}-3x+2 удовлетворяет условиям теоремы Ролля на промежутке [1, 2] и найти точку c \in [1, 2], в которой f'(c)=0.
Решение Функция f(x)=x^{2}-3x+2 дифференцируема на промежутке [1, 2] и на его концах принимает одинаковые значения:

    \[   f(1)=f(2)=0 \]

Тогда, по теореме Ролля, существует точка c \in [1, 2], в которой f'(c)=0.

Найдем производную заданной функции f'(x) = 2x-3. Найдем значение производной в точке c и приравняем полученное значение к нулю:

    \[   f'(x)=2c-3 \text{ } \Rightarrow \text{ } c = \frac{3}{2} \]

Ответ c = \frac{3}{2}
ПРИМЕР 2
Задание Проверить, выполняется ли теорема Ролля для функции f(x) = \sqrt[3]{x^{2}} на отрезке [-1, 1].
Решение Заданная функция является непрерывной на промежутке [-1, 1] и значения функции на концах этого отрезка совпадают:

    \[   f(-1)=f(1)=1 \]

Найдем производную заданной функции:

    \[   f'(x) = \frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}} \]

Производная на интервале (-1, 1) в нуль не обращается, потому что в точке x=0 производной не существует (она обращается в бесконечность). Таким образом, для функции f(x) = \sqrt[3]{x^{2}} на отрезке [-1, 1] теорема Ролля не выполняется, так как данная функции не дифференцируема во всех точках (-1, 1).

Ответ Для функции f(x) = \sqrt[3]{x^{2}} теорема Ролля на отрезке [-1, 1] не выполняется.