Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема о двух милиционерах

ТЕОРЕМА
Теорема о двух милиционерах (для последовательностей). Если последовательность \left\{ x_{n} \right\} такая, что для любого натурального значения n, y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n} и , то и
ТЕОРЕМА
Теорема о двух милиционерах (для функций). Если функция f(x) в некоторой окрестности точки x=a заключена между двумя функциями \phi (x) и \psi (x), то есть имеет место неравенство \phi(x) \leq f(x) \leq \psi (x), причем эти функции имеют одинаковый предел при x \rightarrow a: , то существует предел функции и f(x) при x \rightarrow a, равный этому же значению:

    \[    \lim_{x \rightarrow a} f(x)= A \]

Доказательство теоремы

По определению последовательности, для произвольного числа \varepsilon > 0, найдется такой номер N_{1}, что при n > N_{1}

    \[    A - \varepsilon < y_{n} < A + \varepsilon \]

И найдется такой номер N_{2}, что при n > N_{2}

    \[    A - \varepsilon < z_{n} < A + \varepsilon \]

Рассмотрим так же номер N больший, чем числа N_{1} и N_{2}. Тогда при n > N выполняются оба предшествующих двойных неравенства, и поэтому

    \[    A - \varepsilon < y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n} < A + \varepsilon \]

A - \varepsilon < x_{n} < A + \varepsilon   или   |x_{n}-A| < \varepsilon

Следовательно,

Теорема доказана.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти предел последовательности x_{n} = \sqrt[n]{2^{n}+7^{n}}
Решение Рассмотрим последовательности y_{n}=\sqrt[n]{7^{n}} и z_{n}=\sqrt[n]{2 \cdot 7^{n}}. Для любого натурального n

    \[    \sqrt[n]{7^{n}} \leq x_{n} \leq \sqrt[n]{2 \cdot 7^{n}} \]

Найдем пределы введенных последовательностей. Для последовательности \left\{ x_{n} \right\} предел при n \rightarrow \infty равен

    \[    \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{7^{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} 7 = 7 \]

а для последовательности \left\{ z_{n} \right\}

    \[    \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2 \cdot 7^{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} 7 \cdot 2^{\frac{1}{n}} = 7 \cdot 2^{0} = 7 \]

Таким образом, y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n} и , следовательно, по теореме о двух милиционерах,

    \[    \lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2^{n}+7^{n}} = 7 \]

Ответ
ПРИМЕР 1
Задание Найти предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x + \sin 2x}{2x-1} \]

Решение Функция \sin 2x ограниченная, её значение лежит в пределах -1 \leq \sin 2x \leq 1. Тогда числитель 5x+\sin 2x, можно ограничить следующим образом

    \[    5x-1 \leq 5x+\sin 2x \leq 5x +1 \]

Разделим каждую часть неравенства на 2x-1 и, так как значения этого выражения при x \rightarrow \infty будет положительным, то знаки неравенства не изменятся

    \[    \frac{5x -1}{2x-1} \leq \frac{5x + \sin 2x}{2x-1} \leq \frac{5x +1}{2x-1} \]

Вычислим пределы левой и правой частей данного неравенства. Старшие степени числителя и знаменателя совпадают, поэтому предел равен отношению коэффициентам при старших степенях:

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x -1}{2x-1} = \frac{5}{2} \text{ },\text{ } \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x +1}{2x-1} = \frac{5}{2} \]

Оба предела равны друг другу, следовательно, по теореме о двух милиционерах и искомый предел

    \[    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x + \sin 2x}{2x-1} = \frac{5}{2} \]

Ответ