Теорема о двух милиционерах

ТЕОРЕМА

Теорема о двух милиционерах (для последовательностей). Если последовательность $\left\{ x_{n} \right\}$ такая, что для любого натурального значения $n$ , $y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}$ и

, то и

ТЕОРЕМА

Теорема о двух милиционерах (для функций). Если функция $f(x)$ в некоторой окрестности точки $x=a$ заключена между двумя функциями $\phi (x)$ и $\psi (x)$ , то есть имеет место неравенство $\phi(x) \leq f(x) \leq \psi (x)$ , причем эти функции имеют одинаковый предел при $x \rightarrow a$ :

, то существует предел функции и $f(x)$ при $x \rightarrow a$ , равный этому же значению:

$\lim_{x \rightarrow a} f(x)= A$

Доказательство теоремы

По определению последовательности, для произвольного числа $\varepsilon > 0$ , найдется такой номер $N_{1}$ , что при $n > N_{1}$

$A - \varepsilon < y_{n} < A + \varepsilon$

И найдется такой номер $N_{2}$ , что при $n > N_{2}$

$A - \varepsilon < z_{n} < A + \varepsilon$

Рассмотрим так же номер $N$ больший, чем числа $N_{1}$ и $N_{2}$ . Тогда при $n > N$ выполняются оба предшествующих двойных неравенства, и поэтому

$A - \varepsilon < y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n} < A + \varepsilon$

$A - \varepsilon < x_{n} < A + \varepsilon$ или $|x_{n}-A| < \varepsilon$

Следовательно,

Теорема доказана.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти предел последовательности $x_{n} = \sqrt[n]{2^{n}+7^{n}}$

Решение

Рассмотрим последовательности $y_{n}=\sqrt[n]{7^{n}}$ и $z_{n}=\sqrt[n]{2 \cdot 7^{n}}$ . Для любого натурального $n$

$\sqrt[n]{7^{n}} \leq x_{n} \leq \sqrt[n]{2 \cdot 7^{n}}$

Найдем пределы введенных последовательностей. Для последовательности $\left\{ x_{n} \right\}$ предел при $n \rightarrow \infty$ равен

$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{7^{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} 7 = 7$

а для последовательности $\left\{ z_{n} \right\}$

$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2 \cdot 7^{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} 7 \cdot 2^{\frac{1}{n}} = 7 \cdot 2^{0} = 7$

Таким образом, $y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}$ и , следовательно, по теореме о двух милиционерах,

$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2^{n}+7^{n}} = 7$

Ответ

ПРИМЕР 1

Задание

Найти предел

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x + \sin 2x}{2x-1}$

Решение

Функция $\sin 2x$ ограниченная, её значение лежит в пределах $-1 \leq \sin 2x \leq 1$ . Тогда числитель $5x+\sin 2x$ , можно ограничить следующим образом

$5x-1 \leq 5x+\sin 2x \leq 5x +1$

Разделим каждую часть неравенства на $2x-1$ и, так как значения этого выражения при $x \rightarrow \infty$ будет положительным, то знаки неравенства не изменятся

$\frac{5x -1}{2x-1} \leq \frac{5x + \sin 2x}{2x-1} \leq \frac{5x +1}{2x-1}$

Вычислим пределы левой и правой частей данного неравенства. Старшие степени числителя и знаменателя совпадают, поэтому предел равен отношению коэффициентам при старших степенях:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x -1}{2x-1} = \frac{5}{2} \text{ },\text{ } \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x +1}{2x-1} = \frac{5}{2}$

Оба предела равны друг другу, следовательно, по теореме о двух милиционерах и искомый предел

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{5x + \sin 2x}{2x-1} = \frac{5}{2}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Теорема о двух милиционерах

Доказательство теоремы

Примеры решения задач