Теорема о базисном миноре

ТЕОРЕМА

В произвольной матрице $A$

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

В матрице $A$ минор порядка $r$ называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка $r+1$ и выше равны нулю или не существуют вовсе, т.е. $r$ совпадает с меньшим из чисел $m$ или $n$ .

Следствие. Определитель $n$ -го порядка равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Теорема о базисном миноре матрицы служит для доказательства таких важных теорем:

Теорема 1. Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами).

Теорема 2. (Теорема о ранге матрицы). Для любой матрицы ее ранг равен максимальному количеству ее линейно независимых строк (столбцов).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти все базисные миноры матрицы $A$ и определить её ранг.

$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 4\\ 1 & 2 & -1 & 5\\ 0 & 4 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

Решение

Преобразуем заданную матрицу $A$ с помощью элементарных преобразований. Ко второй строке прибавим первую строку, остальные строки оставим без изменения

$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 4\\ 1 & 2 & -1 & 5\\ 0 & 4 & 0 & 9 \end{pmatrix} ~ \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 4\\ 0 & 4 & 0 & 9\\ 0 & 4 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на $(-1)$ , остальные строки оставим без изменения

$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 4\\ 0 & 4 & 0 & 9\\ 0 & 4 & 0 & 9 \end{pmatrix} ~ \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 4\\ 0 & 4 & 0 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Таким образом, все миноры третьего порядка будут равны нулю, так будут содержать нулевую строку.

Выпишем все миноры второго порядка

$M_{12}^{12} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = -4-0=-4 \text{ };\text{ } M_{13}^{12} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0-0=0$

$M_{14}^{12} = \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 9 \end{vmatrix} = -9-0=-9 \text{ };\text{ } M_{23}^{12} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = 0-4=-4$

$M_{24}^{12} = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 9 \end{vmatrix} = 18-16=2 \text{ };\text{ } M_{34}^{12} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 9 \end{vmatrix} = 9-0=9$

Миноры второго порядка, содержащие элементы третьей строки, так же все будут нулевыми. Таким образом, $\text{rang} (A) = 2$ и базисными будут все ненулевые миноры второго порядка.

Ответ

Базисными будут миноры: $M_{12}^{12} \text{ };\text{ } M_{14}^{12} \text{ };\text{ } M_{23}^{12} \text{ };\text{ } M_{24}^{12} \text{ };\text{ } M_{34}^{12} \text{ };\text{ } \text{rang} (A) = 2$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Теорема о базисном миноре

Примеры решения задач