Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема о базисном миноре

ТЕОРЕМА
В произвольной матрице A

    \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\          \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \]

каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
В матрице A минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Следствие. Определитель n-го порядка равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Теорема о базисном миноре матрицы служит для доказательства таких важных теорем:

Теорема 1. Линейно независимые строки (столбцы) матрицы, количество которых равно рангу матрицы, являются базисными строками (столбцами).

Теорема 2. (Теорема о ранге матрицы). Для любой матрицы ее ранг равен максимальному количеству ее линейно независимых строк (столбцов).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти все базисные миноры матрицы A и определить её ранг.

    \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 4\\ 1  & 2 & -1 & 5\\  0 & 4 & 0 & 9 \end{pmatrix} \]

Решение Преобразуем заданную матрицу A с помощью элементарных преобразований. Ко второй строке прибавим первую строку, остальные строки оставим без изменения

    \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 4\\ 1  & 2 & -1 & 5\\  0 & 4 & 0 & 9 \end{pmatrix} ~ \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 4\\ 0 & 4 & 0 & 9\\  0 & 4 & 0 & 9 \end{pmatrix} \]

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-1), остальные строки оставим без изменения

    \[ A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 4\\ 0 & 4 & 0 & 9\\  0 & 4 & 0 & 9 \end{pmatrix} ~ \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 & 4\\ 0 & 4 & 0 & 9\\  0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Таким образом, все миноры третьего порядка будут равны нулю, так будут содержать нулевую строку.

Выпишем все миноры второго порядка

    \[ M_{12}^{12} =  \begin{vmatrix}  -1 & 2 \\  0 & 4  \end{vmatrix} = -4-0=-4 \text{ };\text{ } M_{13}^{12} =  \begin{vmatrix}  -1 & 1 \\  0 & 0  \end{vmatrix} =  0-0=0 \]

    \[ M_{14}^{12} =  \begin{vmatrix}  -1 & 4 \\  0 & 9  \end{vmatrix} =  -9-0=-9 \text{ };\text{ } M_{23}^{12} =  \begin{vmatrix}  2 & 1 \\  4 & 0  \end{vmatrix} =  0-4=-4 \]

    \[ M_{24}^{12} =  \begin{vmatrix}  2 & 4 \\  4 & 9  \end{vmatrix} =  18-16=2 \text{ };\text{ } M_{34}^{12} =  \begin{vmatrix}  1 & 4 \\  0 & 9  \end{vmatrix} =  9-0=9 \]

Миноры второго порядка, содержащие элементы третьей строки, так же все будут нулевыми. Таким образом, \text{rang} (A) = 2 и базисными будут все ненулевые миноры второго порядка.

Ответ Базисными будут миноры: M_{12}^{12} \text{ };\text{ } M_{14}^{12} \text{ };\text{ } M_{23}^{12} \text{ };\text{ } M_{24}^{12} \text{ };\text{ } M_{34}^{12} \text{ };\text{ } \text{rang} (A) = 2