Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема Лагранжа

ТЕОРЕМА
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а также дифференцируема на интервале (a, b), то на интервале (a, b) найдется хотя бы одна точка c, для которой будет справедливо равенство:

    \[    \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) \]

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

На графике функции y=f(x) найдется точка, касательная к которой параллельна отрезку, соединяющему точки графика с абсциссами a и b (рис. 1).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Учитывая, что функция f(x) = -x^{2}+2x удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на промежутке [1, 3], найти точку c \in (1, 3), в которой

    \[    f'(c) = \frac{f(3)-f(1)}{2} \]

Решение Вычислим значение заданной функции на концах отрезка [1, 3]. Получим

    \[    f(1) = -1^{2}+2 \cdot 1 = 1 \text{ };\text{ } f(3) = -3^{2}+2 \cdot 3 = -3 \]

Тогда

    \[    \frac{f(3)-f(1)}{2} = \frac{-3-1}{2}=-2 \]

Таким образом f'(c)=-2. Найдем производную заданной функции f'(x) =-2x+2. В точке x производная равна

    \[    f'(c)=-2c+2=-2 \]

Получили уравнение относительно c. Решая его, получим, что c=2. Эта точка принадлежит заданному интервалу (1, 3).

Ответ c=2
ПРИМЕР 2
Задание На дуге кривой f(x)=x^{3}-x между точками A(-2, -6) и B(1, 0) найти точку C(c, f(c)), касательная в которой параллельна хорде AB.
Решение Согласно геометрическому смыслу теоремы Лагранжа, абсцисса точки C удовлетворяет условию:

    \[    \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) \]

Найдем значение правой части этого равенства:

    \[    \frac{0-(-6)}{1-(-2)} = 2 \]

Тогда f'(c) = 2. Вычислим производную заданной функции f'(x)=3x^{2}-1. В точке C(c, f(c)) она будет иметь значение

    \[    f'(c) = 3c^{2}-1=2 \]

Решая полученное уравнение относительно c, имеем

    \[    3c^{2} = 3 \text{ } \Rightarrow \text{ } c^{2}=1 \text{ } \Rightarrow \text{ }  c = \pm 1 \]

По условию теоремы Лагранжа c \in (-2, 1), таким образом, подходит значение c=-1. Найдем ординату точки C

    \[    f(c)=(-1)^{3}-(-1)=0 \]

Ответ C(2, 0)