Теорема Крамера

Пусть задана система $n$ уравнений с $n$ неизвестными

$\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ ................................................. \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \ldots + a_{nn}x_{n} = b_{n} \end{cases}$

$A$ – матрица этой системы, а $B$ – столбец свободных членов

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \text{ },\text{ } B= \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \cdots\\ b_{n} \end{pmatrix}$

Если определитель матрицы системы $\Delta = \det A \neq 0$ , то системы линейных уравнений (1) имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам

$x_{i} = \frac{\Delta _{i}}{\Delta} \text{ },\text{ } i = \overline{1, n}$

где $\Delta _{i}$ – определители матриц, которые получаются из матрицы $A$ заменой $i$ -го столбца на столбец свободных членов $B$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Решить систему уравнений методом Крамера

$\begin{cases} x_{1}-3x_{2}-4x_{3} = 4\\ 2x_{1}+x_{2}-3x_{3}=-1\\ 3x_{1}-2x_{2}+x_{3}=11 \end{cases}$

Решение

Вычислим определитель матрицы данной системы, используя правило треугольника:

$\begin{vmatrix} 1 & -3 & -4\\ 2 & 1 & -3\\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) \cdot (-3) + 2 \cdot (-4) \cdot (-2) - 3 \cdot 1 \cdot (-4) -$

$- 2 \cdot (-3) \cdot 1 - 1 \cdot (-3) \cdot (-2) = 1 + 27 + 16 + 12 + 6 - 6 = 56$

Получили $\Delta = 56 \neq 0$ , следовательно, по теореме Крамера, данная система имеет единственное решение, и неизвестные вычисляются по формулам $x_{i} = \frac{\Delta _{i}}{\Delta}$ .

Найдем определители $\Delta _{i}$ , где $i = 1, 2 ,3$ :

$\Delta_{1} = \begin{vmatrix} 4 & -3 & -4\\ -1 & 1 & -3\\ 11 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot 1 \cdot 1 + 11 \cdot (-3) \cdot (-3) + (-1) \cdot (-4) \cdot (-2) - 11 \cdot 1 \cdot (-4) -$

$- (-1) \cdot (-3) \cdot 1 - 4 \cdot (-3) \cdot (-2) = 4+99-8+44-3-24=112$

$\Delta_{2} = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -4\\ 2 & -1 & -3\\ 3 & 11 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) \cdot 1 + 4 \cdot (-3) \cdot 3 + 2 \cdot (-4) \cdot 11 - 3 \cdot (-1) \cdot (-4) -$

$- 2 \cdot 4 \cdot 1 - 1 \cdot (-3) \cdot 11 = -1-36-88-12-8+33=-112$

$\Delta_{3} = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 4\\ 2 & 1 & -1\\ 3 & -2 & 11 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 11 + 3 \cdot (-3) \cdot (-1) + 2 \cdot 4 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 \cdot 4 -$

Далее по формулам $x_{i} = \frac{\Delta _{i}}{\Delta}$ находим неизвестные:

$x_{1} = \frac{\Delta _{1}}{\Delta} = \frac{112}{56} = 2 \text{ };\text{ } x_{2} = \frac{\Delta _{2}}{\Delta} = \frac{-112}{56} = -2 \text{ };\text{ } x_{3} = \frac{\Delta _{3}}{\Delta} = \frac{56}{56} = 1$

Ответ

$x_{1} = 2 \text{ };\text{ } x_{2}=-2 \text{ };\text{ } x_{3}=1$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить систему уравнений по правилу Крамера

$\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+2x_{3}-x_{4}=4 \\ 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}-x_{4}=6 \\ 2x_{1}+3x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=6 \\ 4x_{1}+5x_{2}+8x_{3}-3x_{4}=12 \end{cases}$

Решение

Сначала убедимся, что определитель основной матрицы не равен нулю.

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & 8 & -3 \end{vmatrix}$

Вычислим его, используя элементарные преобразования строк. Первую строку оставим без изменения; ко второй и третье строкам прибавим первую; умноженную на $(-2)$ ; а к четвертой прибавим первую, умноженную на $(-4)$ . Получим

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & 8 & -3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

Далее, первую и вторую строки оставляем без изменения; к третьей строке прибавим вторую; а к четвертой прибавим вторую, умноженную на $(-3)$ .

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{vmatrix}$

Определитель матрицы, приведенной к треугольному виду, равен произведению элементов главной диагонали, то есть

$\Delta = 1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-2) = -2$

Таким образом, $\Delta \neq 0$ и заданная система имеет единственное решение. Найдем его, для этого вычислим $\Delta _{i}$ при $i =1, 2 ,3 , 4$ .

$\Delta _{1}= \begin{vmatrix} 4 & 2 & 2 & -1 \\ 6 & 3 & 4 & -1 \\ 6 & 3 & 3 & -2 \\ 12 & 5 & 8 & -3 \end{vmatrix}$

Приведем его к верхнему треугольному виду, используя элементарные преобразования строк. Первую строку оставим без изменения. Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на $\left( -\frac{3}{2} \right)$ ; к четвертой прибавим первую, умноженную на $(-4)$ .

$\Delta _{1}= \begin{vmatrix} 4 & 2 & 2 & -1 \\ 6 & 3 & 4 & -1 \\ 6 & 3 & 3 & -2 \\ 12 & 5 & 8 & -3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 0 & -0,5 \\ 0 & -1 & -2 & 0 \end{vmatrix}$

Поменяем местами вторую и четвертую строки, при этом знак определителя поменяется на противоположный:

$\Delta _{1}= \begin{vmatrix} 4 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 0 & -0,5 \\ 0 & -1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 4 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0,5 \end{vmatrix}$

далее поменяем местами третью и четвертую строки, и снова поменяем знак:

$\Delta _{1}= - \begin{vmatrix} 4 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0,5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 0 & -0,5 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = 2$

Поступая аналогично, получим

$\Delta _{2} = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & -1 \\ 2 & 6 & 4 & -1 \\ 2 & 6 & 3 & -2 \\ 4 & 12 & 8 & -3 \end{vmatrix} = -2 \text{ }; \text{ } \Delta _{3}= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 6 & -1 \\ 2 & 3 & 6 & -2 \\ 4 & 5 & 12 & -3 \end{vmatrix} = -2 \text{ }; \text{ } \Delta _{4}= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 6 \\ 2 & 3 & 3 & 6 \\ 4 & 5 & 8 & 12 \end{vmatrix} = 2$

По формулам Крамера $x_{i} = \frac{\Delta _{i}}{\Delta}$ , находим:

$x_{1} = \frac{\Delta _{1}}{\Delta} = \frac{2}{-2} = -1 \text{ };\text{ } x_{2} = \frac{\Delta _{2}}{\Delta} = \frac{-2}{-2} = 1$

$x_{3} = \frac{\Delta _{3}}{\Delta} = \frac{-2}{-2} = 1 \text{ };\text{ } x_{4} = \frac{\Delta _{4}}{\Delta} = \frac{2}{-2} = -1$

Ответ

$x_{1}=-1 \text{ };\text{ } x_{2}=1 \text{ };\text{ } x_{3}=1 \text{ };\text{ } x_{4}=-1$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!