Теорема Крамера
Пусть задана система уравнений с неизвестными
– матрица этой системы, а – столбец свободных членов
Если определитель матрицы системы , то системы линейных уравнений (1) имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам
где – определители матриц, которые получаются из матрицы заменой -го столбца на столбец свободных членов .
Примеры решения задач
Задание | Решить систему уравнений методом Крамера
|
Решение | Вычислим определитель матрицы данной системы, используя правило треугольника:
Получили , следовательно, по теореме Крамера, данная система имеет единственное решение, и неизвестные вычисляются по формулам . Найдем определители , где :
Далее по формулам находим неизвестные:
|
Ответ |
Задание | Решить систему уравнений по правилу Крамера
|
Решение | Сначала убедимся, что определитель основной матрицы не равен нулю.
Вычислим его, используя элементарные преобразования строк. Первую строку оставим без изменения; ко второй и третье строкам прибавим первую; умноженную на ; а к четвертой прибавим первую, умноженную на . Получим
Далее, первую и вторую строки оставляем без изменения; к третьей строке прибавим вторую; а к четвертой прибавим вторую, умноженную на .
Определитель матрицы, приведенной к треугольному виду, равен произведению элементов главной диагонали, то есть
Таким образом, и заданная система имеет единственное решение. Найдем его, для этого вычислим при .
Приведем его к верхнему треугольному виду, используя элементарные преобразования строк. Первую строку оставим без изменения. Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на ; к четвертой прибавим первую, умноженную на .
Поменяем местами вторую и четвертую строки, при этом знак определителя поменяется на противоположный:
далее поменяем местами третью и четвертую строки, и снова поменяем знак:
Поступая аналогично, получим
По формулам Крамера , находим:
|
Ответ |