Теорема Крамера
Пусть задана система уравнений с
неизвестными
– матрица этой системы, а
– столбец свободных членов
Если определитель матрицы системы , то системы линейных уравнений (1) имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам
где – определители матриц, которые получаются из матрицы
заменой
-го столбца на столбец свободных членов
.
Примеры решения задач
Задание | Решить систему уравнений методом Крамера
|
Решение | Вычислим определитель матрицы данной системы, используя правило треугольника:
Получили Найдем определители Далее по формулам |
Ответ | ![]() |
Задание | Решить систему уравнений по правилу Крамера
|
Решение | Сначала убедимся, что определитель основной матрицы не равен нулю.
Вычислим его, используя элементарные преобразования строк. Первую строку оставим без изменения; ко второй и третье строкам прибавим первую; умноженную на Далее, первую и вторую строки оставляем без изменения; к третьей строке прибавим вторую; а к четвертой прибавим вторую, умноженную на Определитель матрицы, приведенной к треугольному виду, равен произведению элементов главной диагонали, то есть Таким образом, Приведем его к верхнему треугольному виду, используя элементарные преобразования строк. Первую строку оставим без изменения. Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на Поменяем местами вторую и четвертую строки, при этом знак определителя поменяется на противоположный: далее поменяем местами третью и четвертую строки, и снова поменяем знак: Поступая аналогично, получим По формулам Крамера |
Ответ | ![]() |
