Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема Крамера

Пусть задана система n уравнений с n неизвестными

    \[ \begin{cases}  a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1} \\  a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\  .................................................  \\  a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \ldots + a_{nn}x_{n} = b_{n} \end{cases} \]

A – матрица этой системы, а B – столбец свободных членов

    \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\          \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \text{ },\text{ } B= \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\          \cdots\\ b_{n} \end{pmatrix} \]

Если определитель матрицы системы \Delta = \det A \neq 0, то системы линейных уравнений (1) имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам

    \[    x_{i} = \frac{\Delta _{i}}{\Delta} \text{ },\text{ } i = \overline{1, n} \]

где \Delta _{i} – определители матриц, которые получаются из матрицы A заменой i-го столбца на столбец свободных членов B.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Решить систему уравнений методом Крамера

    \[ \begin{cases} x_{1}-3x_{2}-4x_{3} = 4\\ 2x_{1}+x_{2}-3x_{3}=-1\\ 3x_{1}-2x_{2}+x_{3}=11 \end{cases} \]

Решение Вычислим определитель матрицы данной системы, используя правило треугольника:

    \[ \begin{vmatrix}  1 & -3 & -4\\  2 & 1 & -3\\  3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) \cdot (-3) + 2 \cdot (-4) \cdot (-2) - 3 \cdot 1 \cdot (-4) -  \]

    \[    - 2 \cdot (-3) \cdot 1 - 1 \cdot (-3) \cdot (-2) = 1 + 27 + 16 + 12 + 6 - 6 = 56 \]

Получили \Delta = 56 \neq 0, следовательно, по теореме Крамера, данная система имеет единственное решение, и неизвестные вычисляются по формулам x_{i} = \frac{\Delta _{i}}{\Delta}.

Найдем определители \Delta _{i}, где i = 1, 2 ,3:

    \[ \Delta_{1} =  \begin{vmatrix}  4 & -3 & -4\\  -1 & 1 & -3\\  11 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot 1 \cdot 1 + 11 \cdot (-3) \cdot (-3) + (-1) \cdot (-4) \cdot (-2) - 11 \cdot 1 \cdot (-4) -  \]

    \[    - (-1) \cdot (-3) \cdot 1 - 4 \cdot (-3) \cdot (-2) = 4+99-8+44-3-24=112 \]

    \[ \Delta_{2} =  \begin{vmatrix} 1 & 4 & -4\\  2 & -1 & -3\\  3 & 11 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) \cdot 1 + 4 \cdot (-3) \cdot 3 + 2 \cdot (-4) \cdot 11 - 3 \cdot (-1) \cdot (-4) -  \]

    \[    - 2 \cdot 4 \cdot 1 - 1 \cdot (-3) \cdot 11 = -1-36-88-12-8+33=-112 \]

    \[ \Delta_{3} =  \begin{vmatrix} 1 & -3 & 4\\  2 & 1 & -1\\  3 & -2 & 11 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 \cdot 11 + 3 \cdot (-3) \cdot (-1) + 2 \cdot 4 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 \cdot 4 -  \]

Далее по формулам x_{i} = \frac{\Delta _{i}}{\Delta} находим неизвестные:

    \[    x_{1} = \frac{\Delta _{1}}{\Delta} = \frac{112}{56} = 2 \text{ };\text{ } x_{2} = \frac{\Delta _{2}}{\Delta} = \frac{-112}{56} = -2 \text{ };\text{ } x_{3} = \frac{\Delta _{3}}{\Delta} = \frac{56}{56} = 1 \]

Ответ x_{1} = 2 \text{ };\text{ } x_{2}=-2 \text{ };\text{ } x_{3}=1
ПРИМЕР 2
Задание Решить систему уравнений по правилу Крамера

    \[ \begin{cases} x_{1}+2x_{2}+2x_{3}-x_{4}=4 \\ 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}-x_{4}=6 \\ 2x_{1}+3x_{2}+3x_{3}-2x_{4}=6 \\ 4x_{1}+5x_{2}+8x_{3}-3x_{4}=12 \end{cases} \]

Решение Сначала убедимся, что определитель основной матрицы не равен нулю.

    \[ \Delta = \begin{vmatrix}  1 & 2 & 2 & -1 \\  2 & 3 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & 8 & -3 \end{vmatrix} \]

Вычислим его, используя элементарные преобразования строк. Первую строку оставим без изменения; ко второй и третье строкам прибавим первую; умноженную на (-2); а к четвертой прибавим первую, умноженную на (-4). Получим

    \[ \Delta = \begin{vmatrix}  1 & 2 & 2 & -1 \\  2 & 3 & 4 & -1 \\ 2 & 3 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & 8 & -3 \end{vmatrix} =  \begin{vmatrix}  1 & 2 & 2 & -1 \\  0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 1 \end{vmatrix} \]

Далее, первую и вторую строки оставляем без изменения; к третьей строке прибавим вторую; а к четвертой прибавим вторую, умноженную на (-3).

    \[ \Delta = \begin{vmatrix}  1 & 2 & 2 & -1 \\  0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}  1 & 2 & 2 & -1 \\  0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} \]

Определитель матрицы, приведенной к треугольному виду, равен произведению элементов главной диагонали, то есть

    \[    \Delta = 1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-2) = -2 \]

Таким образом, \Delta \neq 0 и заданная система имеет единственное решение. Найдем его, для этого вычислим \Delta _{i} при i =1, 2 ,3 , 4.

    \[ \Delta _{1}= \begin{vmatrix}  4 & 2 & 2 & -1 \\  6 & 3 & 4 & -1 \\ 6 & 3 & 3 & -2 \\ 12 & 5 & 8 & -3 \end{vmatrix} \]

Приведем его к верхнему треугольному виду, используя элементарные преобразования строк. Первую строку оставим без изменения. Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на \left( -\frac{3}{2} \right); к четвертой прибавим первую, умноженную на (-4).

    \[ \Delta _{1}= \begin{vmatrix}  4 & 2 & 2 & -1 \\  6 & 3 & 4 & -1 \\ 6 & 3 & 3 & -2 \\ 12 & 5 & 8 & -3 \end{vmatrix} =  \begin{vmatrix}  4 & 2 & 2 & -1 \\  0 & 0 & 1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 0 & -0,5 \\ 0 & -1 & -2 & 0 \end{vmatrix} \]

Поменяем местами вторую и четвертую строки, при этом знак определителя поменяется на противоположный:

    \[ \Delta _{1}= \begin{vmatrix}  4 & 2 & 2 & -1 \\  0 & 0 & 1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 0 & -0,5 \\ 0 & -1 & -2 & 0 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix}  4 & 2 & 2 & -1 \\  0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0,5 \end{vmatrix} \]

далее поменяем местами третью и четвертую строки, и снова поменяем знак:

    \[ \Delta _{1}= - \begin{vmatrix}  4 & 2 & 2 & -1 \\  0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -0,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0,5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}  4 & 2 & 2 & -1 \\  0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0,5 \\ 0 & 0 & 0 & -0,5 \end{vmatrix} =  4 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = 2 \]

Поступая аналогично, получим

    \[ \Delta _{2} = \begin{vmatrix}  1 & 4 & 2 & -1 \\  2 & 6 & 4 & -1 \\ 2 & 6 & 3 & -2 \\ 4 & 12 & 8 & -3 \end{vmatrix} = -2 \text{ }; \text{ } \Delta _{3}= \begin{vmatrix}  1 & 2 & 4 & -1 \\  2 & 3 & 6 & -1 \\ 2 & 3 & 6 & -2 \\ 4 & 5 & 12 & -3 \end{vmatrix} = -2 \text{ }; \text{ } \Delta _{4}= \begin{vmatrix}  1 & 2 & 2 & 4 \\  2 & 3 & 4 & 6 \\ 2 & 3 & 3 & 6 \\ 4 & 5 & 8 & 12 \end{vmatrix} = 2 \]

По формулам Крамера x_{i} = \frac{\Delta _{i}}{\Delta}, находим:

    \[    x_{1} = \frac{\Delta _{1}}{\Delta} = \frac{2}{-2} = -1 \text{ };\text{ } x_{2} = \frac{\Delta _{2}}{\Delta} = \frac{-2}{-2} = 1 \]

    \[    x_{3} = \frac{\Delta _{3}}{\Delta} = \frac{-2}{-2} = 1 \text{ };\text{ } x_{4} = \frac{\Delta _{4}}{\Delta} = \frac{2}{-2} = -1 \]

Ответ x_{1}=-1 \text{ };\text{ } x_{2}=1 \text{ };\text{ } x_{3}=1 \text{ };\text{ } x_{4}=-1