Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Теорема Безу

ТЕОРЕМА
Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен  x - a равен P(a).

Следствие. Если число a является корнем многочлена P(x), то многочлен P_{n}(x)=a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_{n} делится без остатка на двучлен  x - a.

Доказательство теоремы Безу

Поделим многочлен P(x) на двучлен  x - a, тогда

    \[    P(x) = (x-a)Q_{n-1}(x)+R \]

где R остаток. Подставим в последнее равенство вместо x число a, получим

    \[    P(a) = (a-a)Q_{n-1}(a)+R \text{ } \Rightarrow \text{ } P(a)=R \]

Теорема доказана.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Определить делится ли без остатка многочлен 2x^{3}-3x^{2}+4x+9 на двучлен x+1.
Решение Найдем остаток от деления многочлена P(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x+9 на двучлен x+1. По теореме Безу остаток будет равен P(-1), так как заданный двучлен можно представить в виде x+1=x-(-1). Найдем значение P(-1) многочлена в точке x=-1:

    \[    P(-1)=2 \cdot (-1)^{3} - 3 \cdot (-1)^{2} + 4 \cdot (-1) + 0 = -2-3-4+9=0 \]

Остаток равен нулю, следовательно, многочлен P(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x+9 делится на x+1 без остатка.

Ответ Многочлен P(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x+9 делится на x+1 без остатка.
ПРИМЕР 2
Задание Проверить, является ли число 5 корнем многочлена P(x)=x^{3}-4x^{2}-4x-5.
Решение По следствию из теоремы Безу, число 5 будет корнем многочлена P(x)=x^{3}-4x^{2}-4x-5, если этот многочлен делится без остатка на x-5. По теореме Безу, остаток от деления на P(x)=x^{3}-4x^{2}-4x-5 равен P(5). Найдем это значение:

    \[    P(5)=5^{3}-4 \cdot 5^{2}-4 \cdot 5 - 5 = 125 - 100 -20 -5 = 0  \]

Остаток равен нулю, следовательно, x=5 корень многочлена P(x)=x^{3}-4x^{2}-4x-5.

Ответ Число 5 является корнем многочлена P(x)=x^{3}-4x^{2}-4x-5.