Теорема Безу

ТЕОРЕМА

Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $x - a$ равен $P(a)$ .

Следствие. Если число $a$ является корнем многочлена $P(x)$ , то многочлен $P_{n}(x)=a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_{n}$ делится без остатка на двучлен $x - a$ .

Доказательство теоремы Безу

Поделим многочлен $P(x)$ на двучлен $x - a$ , тогда

$P(x) = (x-a)Q_{n-1}(x)+R$

где $R$ остаток. Подставим в последнее равенство вместо $x$ число $a$ , получим

$P(a) = (a-a)Q_{n-1}(a)+R \text{ } \Rightarrow \text{ } P(a)=R$

Теорема доказана.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Определить делится ли без остатка многочлен $2x^{3}-3x^{2}+4x+9$ на двучлен $x+1$ .

Решение

Найдем остаток от деления многочлена $P(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x+9$ на двучлен $x+1$ . По теореме Безу остаток будет равен $P(-1)$ , так как заданный двучлен можно представить в виде $x+1=x-(-1)$ . Найдем значение $P(-1)$ многочлена в точке $x=-1$ :

$P(-1)=2 \cdot (-1)^{3} - 3 \cdot (-1)^{2} + 4 \cdot (-1) + 0 = -2-3-4+9=0$

Остаток равен нулю, следовательно, многочлен $P(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x+9$ делится на $x+1$ без остатка.

Ответ

Многочлен $P(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x+9$ делится на $x+1$ без остатка.

ПРИМЕР 2

Задание

Проверить, является ли число 5 корнем многочлена $P(x)=x^{3}-4x^{2}-4x-5$ .

Решение

По следствию из теоремы Безу, число 5 будет корнем многочлена $P(x)=x^{3}-4x^{2}-4x-5$ , если этот многочлен делится без остатка на $x-5$ . По теореме Безу, остаток от деления на $P(x)=x^{3}-4x^{2}-4x-5$ равен $P(5)$ . Найдем это значение:

$P(5)=5^{3}-4 \cdot 5^{2}-4 \cdot 5 - 5 = 125 - 100 -20 -5 = 0$

Остаток равен нулю, следовательно, $x=5$ корень многочлена $P(x)=x^{3}-4x^{2}-4x-5$ .

Ответ

Число 5 является корнем многочлена $P(x)=x^{3}-4x^{2}-4x-5$ .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Теорема Безу

Доказательство теоремы Безу

Примеры решения задач