Свойство биссектрисы угла

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и делит данный угол пополам.

Свойство биссектрисы угла

Расстояние от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.

Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.

Биссектриса угла треугольника – это луч, который исходит из вершины треугольника и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, называемой инцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Из вершины угла $ABC$ провели биссектрису $BK$ . Известно, что $\angle ABC=86^{\circ}$ . Какова градусная мера получившихся углов.
Решение	По условию задачи $BK$ – биссектриса, а значит, она делит угол $ABC$ пополам. Следовательно, $\angle ABK=\angle CBK=\frac{86^{\circ}}{2}=43^{\circ}$
Ответ	$\angle ABK=\angle CBK=43^{\circ}$

ПРИМЕР 2

Задание

В прямоугольном треугольнике найти биссектрису прямого угла, если гипотенуза треугольника равна $6$ см, а один из острых углов равен $45^{\circ}$ .

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$ , гипотенузой $AC=6$ см и $\angle С=45^{\circ}$ .

Биссектриса $BK$ делит угол $B$ пополам, а гипотенузу $AC$ на два отрезка $AK$ и $KC$ . Пусть $KC=x$ , тогда $AK=6-x$ . Катет $BC=AC\cdot \cos \angle C=6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$ см.