Свойства вертикальных углов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

На рисунке вертикальными являются углы $\angle 1$ и $\angle 2; \quad \angle 3$ и $\angle 4$ .

Вертикальные углы равны.
При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Угол 1 равен ${{54}^{\circ}}$ . Найти углы 2, 3 и 4.

Решение

Углы 1 и 2 являются вертикальными, значит, они равны между собой: $\angle 1=\angle 2={{54}^{\circ}}$ .

А $\angle 3$ является смежным с $\angle 1$ , т.е.

$\angle 1+\angle 3={{180}^{\circ}}$

откуда

$\angle 3={{180}^{\circ}}-{{54}^{\circ}}={{126}^{\circ}}$

Углы 3 и 4 также вертикальные, значит

$\angle 4=\angle 3={{126}^{\circ}}$

Ответ

$\angle 2={{54}^{\circ}}, \quad \angle 4=\angle 3={{126}^{\circ}}$

ПРИМЕР 2

Задание

При пересечении двух прямых образовались четыре угла, сумма двух из них равна ${{80}^{\circ}}$ . Найти все углы.

Решение

Если сумма двух углов равна ${{80}^{\circ}}$ , то эти углы вертикальные (так как сумма смежных равна ${{180}^{\circ}}$ ), т.е.

$\angle 1+\angle 2={{80}^{\circ}}\Rightarrow \angle 1=\angle 2={{40}^{\circ}}$

Оставшиеся углы $\angle 3$ и $\angle 4$ – тоже вертикальные и их сумма равна

$\angle 3+\angle 4={{360}^{\circ}}-{{80}^{\circ}}={{280}^{\circ}}\Rightarrow \angle 3=\angle 4=\frac{{{280}^{\circ}}}{2}={{140}^{\circ}}$

Ответ

$\angle 1=\angle 2={{40}^{\circ}}$ , $\angle 3=\angle 4={{140}^{\circ}}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!