Свойства трапеции
Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются ее боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (равнобедренной) трапецией. Трапеция, у которой при одной боковой стороне прямые углы называется прямоугольной.
Свойства трапеции
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
- Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
- Треугольники, образованные при пересечении диагоналей и лежащие на основаниях трапеции, подобные:
- Треугольники, образованные при пересечении диагоналей и лежащие на боковых сторонах трапеции, равновеликие:
- Если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны.
- Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
- Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
- Площадь трапеции вычисляется по формуле
где – основания трапеции, – высота трапеции.
- Если в трапецию вписана окружность радиуса и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка длины и , то .
Примеры решения задач
Задание | Основания трапеции равны см и см. Найти длину отрезка , соединяющего середины диагоналей трапеции.
|
Решение | Отрезок , соединяющий середины диагоналей и , лежит на средней линии трапеции. Длина этого отрезка равна полуразности оснований, т.е.
|
Ответ | см |
Задание | В трапеции верхнее основание равно см, а нижнее – см. На какие отрезки делит диагональ среднюю линию трапеции.
|
Решение | Проведем в трапеции среднюю линию , которая равна полусумме оснований:
Диагональ пересекает в точке . Рассмотрим и . Отрезки и являются средними линиями этих треугольников, а значит
|
Ответ | см, см |