Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства трапеции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а две другие стороны – не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются ее боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (равнобедренной) трапецией. Трапеция, у которой при одной боковой стороне прямые углы называется прямоугольной.

Свойства трапеции

  1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
  3. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
  4. Треугольники, образованные при пересечении диагоналей и лежащие на основаниях трапеции, подобные:

        \[ \Delta AOD \sim \Delta BOC \]

  5. Треугольники, образованные при пересечении диагоналей и лежащие на боковых сторонах трапеции, равновеликие:

        \[{{S}_{\Delta AOB}}={{S}_{\Delta DOC}} \]

  6. Если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны.
  7. Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
  8. Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
  9. Площадь трапеции вычисляется по формуле

        \[S=\frac{a+b}{2}\cdot h\]

    где a,b – основания трапеции, h – высота трапеции.

  10. Если в трапецию вписана окружность радиуса R и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка длины a и b, то R=\sqrt{ab}.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Основания трапеции ABCD равны 3 см и 9 см. Найти длину отрезка PK, соединяющего середины диагоналей трапеции.
Решение Отрезок PK, соединяющий середины диагоналей AC и BD, лежит на средней линии трапеции. Длина этого отрезка равна полуразности оснований, т.е.

    \[PK=\frac{AD-BC}{2}=3 \ cm\]

Ответ PK=3 см
ПРИМЕР 2
Задание В трапеции ABCD верхнее основание равно 5 см, а нижнее – 10 см. На какие отрезки делит диагональ среднюю линию трапеции.
Решение Проведем в трапеции ABCD среднюю линию MN, которая равна полусумме оснований:

    \[MN=\frac{AD+BC}{2}=7,5 \ cm\]

Диагональ AC пересекает MN в точке O. Рассмотрим \Delta ABC и \Delta ACD. Отрезки MO и ONявляются средними линиями этих треугольников, а значит

    \[MO=\frac{1}{2}BC=2,5 \ cm; \quad ON=\frac{1}{2}AD=5 \ cm\]

Ответ MO=2,5 см, ON=5 см