Свойства касательной, секущей и хорды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой (на рисунке это отрезок $AB$ ). Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.

Хорда окружности обладает следующими свойствами

Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, равны.
Если хорды стягивают равные центральные углы, то они равны.
Если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через ее середину.
Если вписанные углы опираются на одну хорду, то они равны.
Две дуги равны, если они заключены между двумя равными хордами.
Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду, а их вершины лежат по разные стороны хорды, то их сумма составляет 180°.
Для любых двух хорд $AB$ и $CD$ , пересекающихся в точке О, выполняется равенство: $AO\cdot OB=CO\cdot OD$ .

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной (на рисунке отрезок $CD$ ).

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей (отрезок $CN$ ).

Свойства касательной и секущей

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть:
$AB^{2}=AD\cdot AC$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	В окружности, радиус которой равен $4$ см, провели хорду $AB=6$ см. Найти расстояние от центра окружности до хорды.
Решение	Концы хорды $AB$ и центр $O$ окружности образуют треугольник $ABO$ . Расстояние от центра окружности до хорды – это длина высоты треугольника $ABO$ , опущенной из вершины $O$ на основание $AB$ . Так как треугольник $ABO$ равнобедренный ( $AO=OB$ – радиусы), то высота $OK$ является и медианой, т.е. $AK=KB=3$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKO$ . Найдем катет $KO$ , воспользовавшись теоремой Пифагора: $KO=\sqrt{AO^{2}-AK^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\ cm$
Ответ	$KO=\sqrt{7}$ см