Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функцией y=f(x) называется правило, по которому каждому значению переменной x ставится в соответствие значение переменной y.

Переменная x является независимой переменной (ее называют «аргумент»), а переменная y – зависимая переменная («функция»).

Значения, которые может принимать независимая переменная x, образуют область определения функции (обозначают D(f)), а значения переменной y образуют область значений функции (обозначают E(f)).

Существует несколько способов задания функции – аналитический, табличный, графический.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x,f(x)). Для построения графика функцию нужно исследовать, а для этого необходимо знать свойства функции.

Основные свойства функции

1.Четность и нечетность функции.

Функция f(x) называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из области определения функции

    \[f(-x)=f(x)\]

График четной функции симметричен относительно оси Oy.

Функция f(x) называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из области определения функции

    \[f(-x)=-f(x)\]

График четной функции симметричен относительно начала координат.

Если не выполняется ни одно из условий f(-x)=f(x),\ f(-x)=-f(x), то функция называется ни четной, ни нечетной (или функцией общего вида).

ПРИМЕР
Задание Исследовать функцию f(x)={{x}^{2}} на четность.
Решение Для заданной функции

    \[f(-x)={{(-x)}^{2}}={{x}^{2}}=f\left( x \right)\]

Значит, эта функция четная.

Ответ Функция четная.

2. Периодичность функции.

Функция называется периодической, если существует такое ненулевое число T, что f(x)=f(x+T) для любого x из области определения функции.

ПРИМЕР
Функция f\left( x \right)=\sin x является периодической, так как

    \[f\left( x+2\pi  \right)=\sin (x+2\pi )=\sin x\]

Период этой функции T=2\pi.

Заметим, что все тригонометрические функции являются периодическими.

3. Монотонность (возрастание, убывание) функции.

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых {{x}_{1}},{{x}_{2}} из этого промежутка таких, что {{x}_{1}}>{{x}_{2}}, выполняется неравенство

    \[f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})\]

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых {{x}_{1}},{{x}_{2}} из этого промежутка таких, что {{x}_{1}}<{{x}_{2}} выполняется

    \[f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})\]

4. Экстремумы функции.

Точка {{x}_{0}} называется точкой максимума функции f(x), если для всех x из некоторой окрестности этой точки, выполнено f({{x}_{0}})>f(x). Значение {{y}_{0}}=f({{x}_{0}}) называется максимумом этой функции.

Точка {{x}_{0}} называется точкой минимума функции f(x), если для всех x из некоторой окрестности, выполнено f({{x}_{0}})<f(x). Значение {{y}_{0}}=f({{x}_{0}}) называется минимумом этой функции.

Чтобы исследовать функцию f(x) на экстремум необходимо:

  1. Найти производную {f}'(x).
  2. Найти значения x, в которых {f}'(x)=0 или {f}'(x) не существует (найти критические точки).
  3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки.
  4. Найти значение функции в экстремальных точках.

5. Нули функции.

Нуль функции – это такое значение аргумента {{x}_{0}}, при котором значение функции f({{x}_{0}}) равно нулю.

ПРИМЕР 1
Задание Исследовать функцию f(x)={{x}^{4}}+2\cos 3x+{{x}^{2}}-5 на четность/нечетность.
Решение Найдем значение функции f(-x):

    \[f(-x)={{(-x)}^{4}}+2\cos (-3x)+{{(-x)}^{2}}-5={{x}^{4}}+2\cos 3x+{{x}^{2}}-5=f(x)\]

Так как f(-x)=f(x), то функция является четной.

Ответ Функция четная.
ПРИМЕР 2
Задание Исследовать функцию f(x)={{x}^{2}}+6x-5 на экстремум.
Решение Найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

    \[{f}'(x)=2x+6=0\Rightarrow x=-3\]

Производная функции определена во всех точках, следовательно, имеем одну критическую точку x=-3. Отметим ее на числовой прямой и определим знак производной справа и слева от нее

При переходе через точку x=-3 производная сменила свой знак с «–» на «+», значит в этой точке функция достигает минимума. Найдем значение функции в этой точке:

    \[f(-3)={{(-3)}^{2}}+6\cdot (-3)-5=-14\]

Точка с координатами (-3,-14) является точкой минимума.

Ответ Точка (-3,-14) – точка минимума.