Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства диагоналей трапеции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Диагонали трапеции – это отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции.

Диагонали трапеции обладают такими свойствами

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, лежит на средней линии и равен половине разности диагоналей.
  2. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
  3. Треугольники, образованные при пересечении диагоналей и лежащие на основаниях трапеции, подобные:

        \[ \Delta AOD \sim \Delta BOC\]

  4. Треугольники, образованные при пересечении диагоналей и лежащие на боковых сторонах трапеции, равновеликие:

        \[{{S}_{\Delta AOB}}={{S}_{\Delta DOC}}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В трапеции ABCD основания BC=5 см и AD=8 см. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Площадь \Delta BOC равна 10 см ^{2}. Найти площадь \Delta AOD.
Решение Рассмотрим треугольники \Delta BOC и \Delta AOD. Они образованы пересечением диагоналей и лежат на основаниях трапеции. Из свойств трапеции следует, что они подобные Коэффициент подобия треугольников k=\frac{AD}{BC}=\frac{8}{5}. Из этого следует, что

    \[{{S}_{\Delta AOD}}=\frac{64}{25}{{S}_{\Delta BOD}}=\frac{64}{25}\cdot 10=\frac{128}{5} \ {{{cm}^{2}}}\]

Ответ {{S}_{\Delta AOD}}=\frac{128}{5} см2
ПРИМЕР 2
Задание Точка пересечения диагоналей трапеции ABCD делит одну из них на отрезки 6 см и 12 см, а разность оснований трапеций равна 36 см. Найдите среднюю линию трапеции.
Решение Пусть BO=6\ cm, \quad OD=12\ cm, \quad AD-BC=36\ cm. Отрезок KP соединяет середины диагоналей и лежит на средней линии MN:

    \[KP=\frac{AD-BC}{2}=18\ cm\]

Так как P – середина диагонали, то

    \[OP=\frac{6+12}{2}=9\ cm\]

Треугольники KOP и BOC – подобные, а значит \frac{OP}{BO}=\frac{KP}{BC}, откуда BC=12 см. Следовательно,

    \[AD=BC+36=48\ cm\]

Найдем среднюю линию трапеции

    \[MN=\frac{AD+BC}{2}=30\ cm\]

Ответ MN=30 см
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.