Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнения с параметром

Определение и формулы уравнений с параметром

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнением вида F\left(x;\; y;...;\; z;\; \alpha ;\; \beta ;...;\; \delta \right) с неизвестными x,\; y,...,\; z и параметрами \alpha ,\; \beta ,...,\; \delta называется уравнением с параметрами.

Например. x+2\alpha x=1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Решить уравнение, содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений этих параметров найти множество всех решений заданного уравнения.

Два уравнения с параметрами называются эквивалентными, если при всякой допустимой системе значений параметров имеют одно и то же множество решений.

Для уравнения с параметром особым или контрольным значением параметра называется такое значение, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Линейное уравнение

    \[ax=b \ (1) \]

записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x является неизвестной величиной, а a,\; b — параметры.

Для линейного уравнения (1) особым значением параметра a есть значение a=0.

Рассмотрим два случая значения указанного параметра (параметр a равен своему особому значению и отличен от него).

Случай 1а. Если a\ne 0, то при любой паре параметров a и b уравнение (1) имеет единственное решение

    \[x=\frac{b}{a} \]

Случай 2а. Если a=0, то уравнение (1) принимает вид:

    \[0\cdot x=b\]

А тогда значение b=0 является особым значением параметра b. Поэтому рассмотрим далее два случая этого параметра:

Случай 1b. При b\ne 0 уравнение решений не имеет: x\in \emptyset.

Случай 2b. При b=0 уравнение принимает вид

    \[0\cdot x=0\]

Решением последнего является любое действительное число, то есть x\in R.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Решить уравнение 2a\left(a-2\right)x=a-2
Решение Определим контрольные значения параметра, то есть такие значения, при которых коэффициент при неизвестной величине x обращается в нуль, то есть необходимо найти решение уравнения 2a\left(a-2\right)=0. Его решениями являются значения a=0 и a=2. При полученных значениях параметра a деление обеих частей уравнения на коэффициент при неизвестной невозможно. Но если a\ne 0, a\ne 2, то деление возможно.

Для нахождения решения заданного уравнения разобьем множество всех допустимых значений параметра a на следующие случаи: 1) a=0; 2) a=2; 3) a\ne 0, a\ne 2.

1) При a=0 заданное уравнение принимает вид

    \[0\cdot x=-2\]

Полученное уравнение решений не имеет (см. случай 1b), поскольку умножение любого числа на нуль в результате дает нуль. Итак, имеем, что x\in \emptyset.

2) При a=2 решаемое уравнение записывается в виде

    \[0\cdot x=0\]

Его решением является любое действительное число (случай 2b): x\in R.

3) При a\ne 0, a\ne 2 левую и правую часть исходного уравнения можно поделить на коэффициент при неизвестной 2a\left(a-2\right)\ne 0. В итоге получаем

    \[x=\frac{a-2}{2a\left(a-2\right)} \]

Откуда, после сокращения числителя и знаменателя на a-2\ne 0, находим корень

    \[x=\frac{1}{2a} \]

Ответ Если a=0,то уравнение решений не имеет; если a=2, то x\in R; если a\ne 0, a\ne 2, то x=\frac{1}{2a}
ПРИМЕР 2
Задание Решить иррациональное уравнение x-\sqrt{a-x^{2} } =1
Решение Для нахождения корней заданного уравнения возведем обе его части в квадрат, а в конце выполним проверку полученных решений, для предотвращения появления сторонних решений. Исходное уравнение запишем в виде:

    \[\sqrt{a-x^{2} } =x-1\Rightarrow \left(\sqrt{a-x^{2} } \right)^{2} =\left(x-1\right)^{2} \Rightarrow a-x^{2} =x^{2} -2x+1\Rightarrow 2x^{2} -2x+1-a=0\]

Решаем полученное квадратное уравнение. Его дискриминант:

    \[D=\left(-2\right)^{2} -4\cdot 2\cdot \left(1-a\right)=4-8\left(1-a\right)=8a-4\]

В зависимости от знака дискриминанта, полученное квадратное уравнение может иметь два различных действительных корня, кратный корень или вовсе действительных корней не иметь:

1) D>0\Rightarrow 8a-4>0\Rightarrow a>\frac{1}{2}:

    \[x_{1,\, 2} =\frac{2\pm \sqrt{8a-4} }{2\cdot 2} =\frac{2\pm 2\sqrt{2a-1} }{4} =\frac{1\pm \sqrt{2a-1} }{2} \]

2) D=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}:

    \[x_{3,\, 4} =\frac{2}{2\cdot 2} =\frac{1}{2} \]

3) D<0\Rightarrow a<\frac{1}{2} \Rightarrow x\in \emptyset.

Сделаем проверку:

1) подставляем в полученное уравнение значения x_{1,\, 2} =\frac{1\pm \sqrt{2a-1} }{2} \left(a>\frac{1}{2} \right).

Для x_{1} =\frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} имеем:

    \[\frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} -\sqrt{a-\left(\frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} \right)^{2} } =1, \frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} -\sqrt{a-\frac{1+2\sqrt{2a-1} +2a-1}{4} } =1\]

    \[\frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} -\sqrt{\frac{4a-2\sqrt{2a-1} -2a}{4} } =1, \frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} -\frac{\sqrt{2a-2\sqrt{2a-1} } }{2} =1\]

    \[\frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} -\frac{\sqrt{2a-1-2\sqrt{2a-1} +1} }{2} =1\]

    \[\frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} -\frac{\sqrt{\left(\sqrt{2a-1} -1\right)^{2} } }{2} =1, \frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} -\frac{\left|\sqrt{2a-1} -1\right|}{2} =1\]

Рассмотрим возможные случаи знака подмодульного выражения:

— если \sqrt{2a-1} -1\ge 0\Rightarrow \sqrt{2a-1} \ge 1\Rightarrow 2a-1\ge 1\Rightarrow 2a\ge 2\Rightarrow a\ge 1. В пересечении с неравенством a>\frac{1}{2}, для которого получен корень, имеем, что a\ge 1.

В этом случае

    \[\left|\sqrt{2a-1} -1\right|=\sqrt{2a-1} -1\]

а равенство \frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} -\frac{\left|\sqrt{2a-1} -1\right|}{2} =1 принимает вид:

    \[\frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} -\frac{\sqrt{2a-1} -1}{2} =1\Rightarrow \frac{1+\sqrt{2a-1} -\sqrt{2a-1} +1}{2} =1\Rightarrow 1=1\]

Таким образом, x_{1} =\frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} является корнем исходного уравнения для a\ge 1.

— если \sqrt{2a-1} -1<0\Rightarrow a<1. В пересечении с a>\frac{1}{2} имеем, что a\in \left(\frac{1}{2} ;\; 1\right). В этом случае модуль раскрывается со знаком «минус»:

    \[\left|\sqrt{2a-1} -1\right|=-\left(\sqrt{2a-1} -1\right)\]

равенство \frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} -\frac{\left|\sqrt{2a-1} -1\right|}{2} =1 записывается в виде:

    \[\frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} +\frac{\sqrt{2a-1} -1}{2} =1\Rightarrow \sqrt{2a-1} =1\Rightarrow a=1\notin \left(\frac{1}{2} ;\; 1\right)\]

То есть для a\in \left(\frac{1}{2} ;\; 1\right) решений нет.

Для x_{2} =\frac{1-\sqrt{2a-1} }{2} \left(a>\frac{1}{2} \right) будем иметь:

    \[\frac{1-\sqrt{2a-1} }{2} -\sqrt{a-\left(\frac{1-\sqrt{2a-1} }{2} \right)^{2} } =1, \frac{1-\sqrt{2a-1} }{2} -\sqrt{a-\frac{1-2\sqrt{2a-1} +2a-1}{4} } =1\]

    \[\frac{1-\sqrt{2a-1} }{2} -\sqrt{\frac{4a+2\sqrt{2a-1} -2a}{4} } =1, \frac{1-\sqrt{2a-1} }{2} -\frac{\sqrt{2a+2\sqrt{2a-1} } }{2} =1\]

    \[\frac{1-\sqrt{2a-1} }{2} -\frac{\sqrt{2a-1+2\sqrt{2a-1} +1} }{2} =1\]

    \[\frac{1-\sqrt{2a-1} }{2} -\frac{\sqrt{\left(\sqrt{2a-1} +1\right)^{2} } }{2} =1, \frac{1-\sqrt{2a-1} }{2} -\frac{\left|\sqrt{2a-1} +1\right|}{2} =1, \]

    \[\frac{1-\sqrt{2a-1} }{2} -\frac{\sqrt{2a-1} +1}{2} =1 \]

    \[\frac{-2\sqrt{2a-1} }{2} =1, -\sqrt{2a-1} =1\]

Левая часть -\sqrt{2a-1} последнего равенства принимает неположительные значения (то есть -\sqrt{2a-1} \le 0), а правая строго положительна: 1>0. Поэтому равенство -\sqrt{2a-1} =1 не может быть верным, а, значит, значение x_{2} =\frac{1-\sqrt{2a-1} }{2} не является корнем заданного уравнения.

2) x_{3,\, 4} =\frac{1}{2} \; \left(a=\frac{1}{2} \right):

    \[\frac{1}{2} -\sqrt{\frac{1}{2} -\left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =1\Rightarrow \frac{1}{2} -\frac{1}{2} =1\Rightarrow 0=1\]

Получили неверное равенство, значит, значение x_{3,\, 4} =\frac{1}{2} не является решением исходного уравнения.

Ответ x=\frac{1+\sqrt{2a-1} }{2} ,\; a\in \left[1;\; +\infty \right)
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.