Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение плоскости

Плоскость — одно из основных понятий геометрии.

Уравнения плоскости впервые встречаются в работах французского математика, механика и астронома Алексии Клода Клеро (1713-1765) в 1713 г.; уравнение плоскости в отрезках впервые (скорее всего) появилось в 1816-18188 г.г. у французского математика, механика, физика и инженера Габриеля Ламе (1795-1870); нормальное уравнение плоскости в 1861 году ввёл немецкий математик Людвиг Отто Гессе (1811-1874).

Общее уравнение плоскости

    \[ Ax+By+Cz+D=0 \    (1) \]

коэффициенты A,\; B и C не равны нулю одновременно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Нормальным вектором \bar{n} плоскости называется вектор, который этой плоскости перпендикулярен.

Для плоскости (1), заданной общим уравнением, нормальный вектор имеет координаты \bar{n}=\left(A;\; B{\rm ;}\; C\right).

Если хотя бы один из коэффициентов в уравнении плоскости (1) равен нулю, то такое уравнение плоскости называется неполным.

Уравнение плоскости в отрезках на осях

    \[\frac{x}{a} +\frac{y}{b} +\frac{z}{c} =1\]

где a,\; b,\; c — отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях Ox,\; Oy,\; Oz соответственно.

ПРИМЕР 1
Задание Общее уравнение плоскости x+2y-3z+6=0 привести к уравнению в отрезках на осях.
Решение Перенесем свободный коэффициент D=6 в правую часть равенства, определяющего плоскость:

    \[x+2y-3z=-6\]

Далее левую и правую части поделим на свободный коэффициент (— 6):

    \[\frac{x}{-6} +\frac{2y}{-6} -\frac{3z}{-6} =1\]

После сокращения окончательно имеем:

    \[\frac{x}{-6} +\frac{y}{-3} +\frac{z}{2} =1\]

Ответ \frac{x}{-6} +\frac{y}{-3} +\frac{z}{2} =1

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

    \[ A\left(x-x_{0} \right)+B\left(y-y_{0} \right)+C\left(z-z_{0} \right)=0   \ (2) \]

где M\left(x_{0} ;\; y_{0} ;\; z_{0} \right) — точка, через которую проходим плоскость; \bar{n}=\left(A;\; B{\rm ;}\; C\right) — нормальный вектор плоскости.

ПРИМЕР 2
Задание Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку M\left(1;\; -1;\; 2\right) перпендикулярно вектору \bar{n}=\left(2;\; -1;\; 1\right).
Решение В нашем случае имеем, что x_{0} =1,\; y_{0} =-1,\; z_{0} =2, а из нормального вектора A=2,\; B=-1,\; C=1. Тогда уравнение (2) при данных значениях принимает вид:

    \[2\cdot \left(x-1\right)+\left(-1\right)\cdot \left(y-\left(-1\right)\right)+1\cdot \left(z-2\right)=0\]

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

    \[2x-2-y-1+z-2=0\Rightarrow 2x-y+z-5=0\]

Ответ 2x-y+z-5=0

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, которые не лежат на одной прямой

    \[\left|\begin{array}{ccc} {x-x_{1} } & {x_{2} -x_{1} } & {x_{3} -x_{1} } \\ {y-y_{1} } & {y_{2} -y_{1} } & {y_{3} -y_{1} } \\ {z-z_{1} } & {z_{2} -z_{1} } & {z_{3} -z_{1} } \end{array}\right|=0\]

Здесь M_{1} \left(x_{1} ;\; y_{1} ;\; z_{1} \right),\; M_{2} \left(x_{2} ;\; y_{2} ;\; z_{2} \right),\; M_{3} \left(x_{3} ;\; y_{3} ;\; z_{3} \right) — точки, через которые проходит плоскость.

Нормальное уравнение плоскости

    \[x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\]

где \cos \alpha ,\; \cos \beta ,\; \cos \gamma — направляющие косинусы вектора нормали \bar{n}, p — расстояние плоскости от начала координат.

Нормальное уравнение плоскости можно получить из общего уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

    \[\mu =\pm \frac{1}{\sqrt{A^{2} +B^{2} +C^{2} } } \]

причем знак нормирующего множителя \mu противоположен знаку свободного коэффициента D в общем уравнении плоскости (1).

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.