Уравнение плоскости
Плоскость — одно из основных понятий геометрии.
Уравнения плоскости впервые встречаются в работах французского математика, механика и астронома Алексии Клода Клеро (1713-1765) в 1713 г.; уравнение плоскости в отрезках впервые (скорее всего) появилось в 1816-18188 г.г. у французского математика, механика, физика и инженера Габриеля Ламе (1795-1870); нормальное уравнение плоскости в 1861 году ввёл немецкий математик Людвиг Отто Гессе (1811-1874).
Общее уравнение плоскости
коэффициенты и не равны нулю одновременно.
Для плоскости (1), заданной общим уравнением, нормальный вектор имеет координаты .
Если хотя бы один из коэффициентов в уравнении плоскости (1) равен нулю, то такое уравнение плоскости называется неполным.
Уравнение плоскости в отрезках на осях
где — отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях соответственно.
Задание | Общее уравнение плоскости привести к уравнению в отрезках на осях. |
Решение | Перенесем свободный коэффициент в правую часть равенства, определяющего плоскость:
Далее левую и правую части поделим на свободный коэффициент (— 6):
После сокращения окончательно имеем:
|
Ответ |
Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору
где — точка, через которую проходим плоскость; — нормальный вектор плоскости.
Задание | Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . |
Решение | В нашем случае имеем, что , а из нормального вектора . Тогда уравнение (2) при данных значениях принимает вид:
Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
|
Ответ |
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, которые не лежат на одной прямой
Здесь — точки, через которые проходит плоскость.
Нормальное уравнение плоскости
где — направляющие косинусы вектора нормали , — расстояние плоскости от начала координат.
Нормальное уравнение плоскости можно получить из общего уравнения (1) умножением на нормирующий множитель
причем знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного коэффициента в общем уравнении плоскости (1).