Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Справочник Решение уравнений Уравнение эллипса

Уравнение эллипса

Определение и уравнение эллипса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных точек $F_{1}$ и $F_{2}$ есть величина постоянная. Точки $F_{1}$ и $F_{2}$ называются фокусами эллипса.

Уравнение эллипса, рисунок и формула

Каноническое (или простейшее) уравнение эллипса с центром в начале координат $O\left(0;\; 0\right)$

$\frac{x^{2} }{a^{2} } +\frac{y^{2} }{b^{2} } =1,\; a\ge b>0$

Здесь $a$ — длина большей полуоси эллипса, $b$ — длина малой полуоси эллипса. Фокальным расстоянием называется расстояние между фокусами рассматриваемого эллипса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Эллипс задан своим каноническим уравнением $\frac{x^{2} }{4} +\frac{y^{2} }{16} =1$ . Найти длины его большой и малой осей.

Решение

Из заданного канонического уравнения эллипса можно сделать вывод, что

$a^{2} =4,\; b^{2} =16$

Тогда $a=2,\; b=4$ . Следовательно, искомые длины большой и малой осей соответственно

$2a=2\cdot 2=4,\; 2b=2\cdot 4=8$

Ответ

$2a=4,\; 2b=8$

Величина

$c=\frac{\left|F_{1} F_{2} \right|}{2}$

Величины $a,\; b$ и $c$ эллипса связаны соотношением:

$a^{2} -b^{2} =c^{2}$

Эксцентриситетом эллипса называется величина

$\varepsilon =\frac{c}{a}$

Для эллипса $\varepsilon <1.$

ПРИМЕР 2

Задание

Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси $a=4,\; b=3$

Решение

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

$\frac{x^{2} }{a^{2} } +\frac{y^{2} }{b^{2} } =1$

Подставляя в него заданные значения полуосей, получим:

$\frac{x^{2} }{4^{2} } +\frac{y^{2} }{3^{2} } =1\Rightarrow \frac{x^{2} }{16} +\frac{y^{2} }{9} =1$

Ответ

$\frac{x^{2} }{16} +\frac{y^{2} }{9} =1$

© SolverBook - онлайн сервисы для учебы, 2015

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Почта для связи: info@ru.solverbook.com

Выберите язык:

Сервисы

SolverBook