Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Системы уравнений с двумя переменными

Определение и формулы систем уравнений с двумя переменными

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение, содержащее две переменные (неизвестные величины), называется уравнениями с двумя переменными.

Например. x-3y=12+y^{2}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Система уравнений с двумя переменными — это два и более уравнений с двумя неизвестными, записанными одно под другим.

Например. \left\{\begin{array}{l} {x-y=3,} \\ {2x+y^{2} =-1.} \end{array}\right

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если система уравнений с двумя неизвестными состоит из линейных уравнений, то она называется системой линейных уравнений с двумя неизвестными.

Решение систем линейных уравнений методом подстановки

Суть метода заключается в следующем: в системе уравнений выбираете наиболее простое уравнение, в котором одна из переменных выражаете через другую.

ЗАМЕЧАНИЕ
Обычно, если такое имеется, выбирается/выражается та переменная, коэффициент при которой равен единице.

Результат (выражение) подставляете в другое уравнение системы, в результате чего приходим к уравнению от одной переменной. Решая его, находим значение этой переменной. Полученное значение подставляем в первое уравнение и получаем значение второй переменной.

ПРИМЕР 1
Задание Решить систему

    \[ \left\{\begin{array}{l} {x+y=1,} \\ {2x-y=2.} \end{array}\right \]

Решение Первое уравнение заданной системы является более простым, чем второе (поскольку коэффициенты при неизвестных равны единице), поэтому из него выражаем одну переменную через другую, например, найдем выражение переменной x через y:

    \[x=1-y\]

Замечание. Если бы использовали второе уравнение системы, то рациональнее было бы переменную y выражать через x.

Полученное выражение для x подставляем во второе уравнение системы:

    \[2\cdot \left(1-y\right)-y=2\]

В результате получили линейное уравнение относительно переменной y. Найдем его решение, раскроем скобки и сведем подобные:

    \[\not 2-2y-y=\not 2\Rightarrow -3y=0\Rightarrow y=0\]

Полученное значение подставляем в выражение x=1-y и находим значение второй переменной:

    \[x=1-0=1\]

Ответ \left(1;\; 0\right)

Решение систем линейных уравнений методом сложения

Для того, чтобы применить указанный метод, необходимо, чтобы коэффициенты при какой-либо неизвестной были равными или противоположными по знаку числами. В таком случае в результате сложения (или вычитания) уравнений системы одно из неизвестных пропадает. В результате система преобразуется к линейному уравнению от одной переменной.

ПРИМЕР 2
Задание Найти решение системы

    \[ \left\{\begin{array}{l} {x+y=1,} \\ {2x-y=2.} \end{array}\right \]

Решение Поскольку коэффициенты при переменной y противоположны по знаку (они равны 1 и — 1 соответственно), то сложим почленно заданные уравнения:

    \[\begin{array}{l} {+\underline{\left\{\begin{array}{l} {x+y=1,} \\ {2x-y=2.} \end{array}\right. }} \\ {\; \; \; \; 3x\; \; \; \; =3} \end{array}\]

Откуда получаем, что x=1.

Для нахождения второй переменной y подставим полученное значение x=1, например в первое уравнение системы:

    \[1+y=1\Rightarrow y=0\]

Ответ \left(1;\; 0\right)

Решение систем уравнений с двумя неизвестными методом введения новой переменной

Суть метода продемонстрируем на примере.

ПРИМЕР 3
Задание Решить систему

    \[\left\{\begin{array}{l} {\frac{2}{x-3y} +\frac{3}{2x+y} =2,} \\ {\frac{8}{x-3y} -\frac{9}{2x+y} =1.} \end{array}\right \]

Решение Поскольку искомые переменные находятся в знаменателях, то вначале обязательно находим ОДЗ:

ОДЗ: \left\{\begin{array}{l} {x-3y\ne 0,} \\ {2x+y\ne 0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x\ne 3y,} \\ {y\ne -2x.} \end{array}\right.

Заметим, что знаменатели в обоих уравнениях системы совпадают. Перепишем систему следующим образом

    \[\left\{\begin{array}{l} {\frac{2}{x-3y} +\frac{3}{2x+y} =2,} \\ {4\cdot \frac{2}{x-3y} -3\cdot \frac{3}{2x+y} =1} \end{array}\right \]

и сделаем замену

    \[\frac{2}{x-3y} =u,\; \frac{3}{2x+y} =v\]

В результате система принимает вид:

    \[\left\{\begin{array}{l} {u+v=2,} \\ {4u-3v=1.} \end{array}\right \]

Решение полученной системы найдем, например, методом сложения. Для этого сделаем коэффициенты при одной из неизвестных равными или противоположными числами. Умножим первое уравнение системы на 4:

    \[\left\{\begin{array}{l} {\left. u+v=2,\right|\times 4} \\ {4u-3v=1} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {4u+4v=8,} \\ {4u-3v=1.} \end{array}\right \]

Поскольку коэффициенты при переменной u равны, то, например, от первого уравнения системы отнимем его второе уравнение:

    \[\begin{array}{l} {-\underline{\left\{\begin{array}{l} {4u+4v=8,} \\ {4u-3v=1.} \end{array}\right. }} \\ {\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 7v=7} \end{array}\]

Из полученного линейного уравнения находим, что

    \[v=1\]

Подставляем это значение в первое уравнение системы:

    \[u+1=2\Rightarrow u=1\]

Делаем обратную замену

    \[\left\{\begin{array}{l} {\frac{2}{x-3y} =1,} \\ {\frac{3}{2x+y} =1.} \end{array}\right \]

Преобразуем следующую систему к виду:

    \[\left\{\begin{array}{l} {x-3y=2,} \\ {2x+y=3.} \end{array}\right \]

Найдем решение полученной системы методом подстановки. Из первого уравнения имеем:

    \[x=2+3y\]

Подставляем это выражение во второе уравнение последней системы:

    \[2\cdot \left(2+3y\right)+y=3\Rightarrow 4+6y+y=3\Rightarrow 7y=-1\Rightarrow y=-\frac{1}{7} \]

Отсюда

    \[x=2+3\cdot \left(-\frac{1}{7} \right)=2-\frac{3}{7} =\frac{11}{7} \]

Ответ \left(\frac{11}{7} ;\; -\frac{1}{7} \right)
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.