Система линейных уравнений

Определение и формулы системы линейных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется набор линейных уравнений, записанных один под другим:

$\left\{\begin{array}{l} {a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +...+a_{1n} x_{n} =b_{1} ,} \\ {a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +...+a_{2n} x_{n} =b_{2} ,} \\ {...} \\ {a_{k1} x_{1} +a_{k2} x_{2} +...+a_{kn} x_{n} =b_{k} .} \end{array}\right \ (1)$

Например. $\left\{\begin{array}{l} {3x_{1} -2x_{2} +x_{3} =0,} \\ {x_{1} +x_{2} -3x_{3} =-1,} \\ {x_{1} +2x_{2} -x_{3} =4.} \end{array}\right$

Решение системы линейных уравнений

Решением СЛАУ называется совокупность значений неизвестных $x_{1} =x_{1}^{0} ,\; x_{2} =x_{2}^{0} ,...,\; x_{n} =x_{n}^{0}$ , при подстановке которых в каждое уравнения системы они обращаются в тождества.

Например. Пара чисел $x_{1} =3,\; x_{2} =-1$ является решением системы $\left\{\begin{array}{l} {x_{1} +x_{2} =2,} \\ {x_{1} -x_{2} =4,} \end{array}\right.$ поскольку при подстановке указанных значений в уравнения системы, последние превращаются в тождества:

$\left\{\begin{array}{l} {3+\left(-1\right)=2,} \\ {3-\left(-1\right)=4} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {2=2,} \\ {4=4.} \end{array}\right$

Матрицей СЛАУ называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных.

Например. Матрицей системы $\left\{\begin{array}{l} {x_{1} +x_{2} =2,} \\ {x_{1} -x_{2} =4} \end{array}\right.$ будет матрица

$A=\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {-1} \end{array}\right)$

Матрицей правых частей или матрицей свободных коэффициентов называется матрица-столбец, составленная из правых частей СЛАУ.

Например. Матрицей свободных коэффициентов системы $\left\{\begin{array}{l} {x_{1} +x_{2} =2,} \\ {x_{1} -x_{2} =4} \end{array}\right.$ есть матрица

$B=\left(\begin{array}{l} {2} \\ {4} \end{array}\right)$

Расширенной матрицей СЛАУ называется матрица системы, после вертикальной черты справа от которой записана матрица правых частей.

Например. Расширенная матрица системы $\left\{\begin{array}{l} {x_{1} +x_{2} =2,} \\ {x_{1} -x_{2} =4} \end{array}\right.$ — это матрица

$A|B=\left(\left. \begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {1} & {-1} \end{array}\; \right|\; \begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right)$

СЛАУ (1) можно записать в матричном виде $AX=B$ , где

$A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {...} & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {...} & {a_{2n} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ {a_{k1} } & {a_{k2} } & {...} & {a_{kn} } \end{array}\right)$

— матрица системы;

$X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {...} \\ {x_{n} } \end{array}\right)$

— матрица-столбец неизвестных;

$B=\left(\begin{array}{c} {b_{1} } \\ {b_{2} } \\ {...} \\ {b_{k} } \end{array}\right)$

— матрица правых частей.

СЛАУ, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной; если решений нет, то СЛАУ называется несовместной.

СЛАУ (1) называется однородной, если все ее правые части равны нулю одновременно: $b_{1} =b_{2} =...=b_{k} =0$ :

$\left\{\begin{array}{l} {a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +...+a_{1n} x_{n} =0,} \\ {a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +...+a_{2n} x_{n} =0,} \\ {...} \\ {a_{k1} x_{1} +a_{k2} x_{2} +...+a_{kn} x_{n} =0.} \end{array}\right \ (2)$

Например. $\left\{\begin{array}{l} {4x_{1} +5x_{2} =0,} \\ {x_{1} -x_{2} =0.} \end{array}\right$

ЗАМЕЧАНИЕ

Однородная система всегда совместна, так как ее решением есть нулевое решение

$x_{1} =x_{2} =...=x_{n} =0$

Однородная СЛАУ (2), имеющая единственное нулевое решение, называется тривиально совместной; в противном случае — нетривиально совместной.

ТЕОРЕМА

Однородная СЛАУ (2) нетривиально совместна (то есть имеет ненулевое решение), если определитель ее матрицы равен нулю.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Система линейных уравнений

Определение и формулы системы линейных уравнений

Решение системы линейных уравнений