Решение системы уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется набор линейных алгебраических уравнений, записанных одно под другим:

$\left\{\begin{array}{l} {a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +...+a_{1n} x_{n} =b_{1} ,} \\ {a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +...+a_{2n} x_{n} =b_{2} ,} \\ {...} \\ {a_{k1} x_{1} +a_{k2} x_{2} +...+a_{kn} x_{n} =b_{k} .} \end{array}\right.$

Чаще всего приходится решать системы с двумя неизвестными, которые содержат два уравнения, то есть системы вида

(1) $\begin{equation*} \left\{\begin{array}{l} {a_{1} x+b_{1} y=c_{1} ,} \\ {a_{2} x+b_{2} y=c_{2} .} \end{array}\right. \end{equation*}$

Решением системы (1) называется пара значений неизвестных, которые являются решением каждого из уравнений системы.

Решить систему уравнений — это означает, найти все ее решения или доказать, что их не существует.

Самыми элементарными методами решения таких систем являются метод подстановки (или метод замены), метод сложения и графический метод.

Решение систем уравнений с двумя неизвестными методом подстановки

Заметим, что указанный метод используется и для систем большей размерности, чем вторая.

Если выполняется условие

$\frac{a_{1} }{a_{2} } \ne \frac{b_{1} }{b_{2} }$

то система (1) имеет единственное решение, которое находится способом подстановки: из одного уравнения системы выражается одна из неизвестных через другую, полученное выражение подставляется во второе уравнение системы, которое в результате преобразуется к линейному с одной неизвестной.

ЗАМЕЧАНИЕ

Чаще всего выражается та переменная, коэффициент при которой равен единице.

Например, из первого уравнения системы (1) находим, что

$x=\frac{c_{1} -b_{1} y}{a_{1} }$

Тогда второе уравнение этой системы принимает вид

$a_{2} \cdot \frac{c_{1} -b_{1} y}{a_{1} } +b_{2} y=c_{2}$

или

$\frac{a_{2} c_{1} }{a_{1} } -\frac{a_{2} b_{1} }{a_{1} } y+b_{2} y=c_{2}$

откуда

$y=\frac{a_{1} c_{2} -a_{2} c_{1} }{a_{1} b_{2} -a_{2} b_{1} }$

следовательно

$x=\frac{c_{1} -b_{1} \cdot \frac{a_{1} c_{2} -a_{2} c_{1} }{a_{1} b_{2} -a_{2} b_{1} } }{a_{1} } =\frac{c_{1} b_{2} -b_{1} c_{2} }{a_{1} b_{2} -a_{2} b_{1} }$

Если

$\frac{a_{1} }{a_{2} } =\frac{b_{1} }{b_{2} } \ne \frac{c_{1} }{c_{2} }$

то система (1) не имеет решения.

Если

$\frac{a_{1} }{a_{2} } =\frac{b_{1} }{b_{2} } =\frac{c_{1} }{c_{2} }$

тогда система (1) имеет бесконечное множество решений вида

$x=\frac{c_{1} -b_{1} y}{a_{1} } ,\; y\in R$

ПРИМЕР 1

Задание

Найти решение системы методом подстановки

$\left\{\begin{array}{l} {x+y=-1,} \\ {2x-y=7} \end{array}\right$

Решение

Из первого уравнения заданной системы выразим, например, переменную $y$ через переменную $x$ :

$x+y=-1\Rightarrow y=-1-x$

Подставляем полученное выражение во второе уравнение $2x-y=7$ системы:

$2x-\left(-1-x\right)=7\Rightarrow 2x+1+x=7\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2$

А тогда

$y=-1-2=-3.$

Ответ

$\left(2;\; -3\right)$

Решение систем уравнений с двумя неизвестными методом сложения

При решении системы (1) указанным методом придерживаются следующей схемы:

умножить обе части уравнений системы на такие числа, чтобы коэффициенты при неизвестных стали равными или противоположными числами; если при одной из неизвестных коэффициенты равны или являются противоположными числами, то сразу переходим к пункту 2;
почленно прибавить (если коэффициенты при одной из неизвестных равны) или почленно отнять (в случае противоположных по знаку коэффициентов) соответственно левые и правые части равенств;
решить полученное линейное уравнение с оной неизвестной;
подставить полученное в пункте 3 значение неизвестной в любое уравнение начальной системы и найти значение второй неизвестной.

ЗАМЕЧАНИЕ

Значение второй переменной можно также найти по выше описанной схеме, для этого надо повторить все шаги 1-3. Отличие состоит лишь в том, что теперь при оставшейся переменной, согласно пункту 1, надо сделать коэффициенты равными или противоположными числами.

ПРИМЕР 2

Задание

Найти решение системы методом сложения

$\left\{\begin{array}{l} {x+y=-1,} \\ {2x-y=7} \end{array}\right$

Решение

Заметим сразу, что при переменной $y$ коэффициенты являются противоположными числами (они равны соответственно 1 и — 1), а тогда к первому уравнению системы прибавим (так как коэффициенты противоположны по знаку) ее второе уравнение:

В результате получили линейное уравнение $3x=6$ относительно переменной $x$ , откуда получаем, что

$x=2$

Значение переменной $y$ найдем двумя способами.

I способ. Подставим значение $x=2$ , например, в первое уравнение системы:

$2+y=-1\Rightarrow y=-1-2\Rightarrow y=-3$

II способ. Исключим теперь из системы переменную $x$ , для этого сделаем равными или противоположными числами коэффициенты при ней. Первое уравнение системы умножим на 2:

Далее, поскольку коэффициенты при $x$ равны, отнимем, например, от первого уравнения системы ее второе уравнение:

Тогда из полученного уравнения $3x=-9$ будем иметь, что

$x=\frac{-9}{3} =-3$

Итак, искомое решение $\left(2;\; -3\right)$ .

Ответ

$\left(2;\; -3\right)$

Решение систем уравнений с двумя неизвестными графическим методом

Чтобы решить систему уравнений (1) графически, нужно построить в одной системе координат графики уравнений системы, а именно прямые $a_{1} x+b_{1} y=c_{1} ,\; a_{2} x+b_{2} y=c_{2}$ , и найти общие точки этих прямых. Координаты указанных точек и будут решениями рассматриваемой системы.

ЗАМЕЧАНИЕ

Напомним, что для построения прямой достаточно знать координаты двух точек, через которые эта прямая проходит.

Поскольку графиком линейного уравнения есть прямая, то можно сделать вывод, что система (1) может иметь единственное решение (прямые, соответствующие уравнениям, пересекаются); не иметь решения (прямые параллельны) или иметь бесконечно много решений (прямые совпадают).

ПРИМЕР 3

Задание

Решить графически систему

$\left\{\begin{array}{l} {x+y=-1,} \\ {2x-y=7.} \end{array}\right$

Решение

Построим прямые, соответствующие уравнениям системы: $x+y=-1$ и $2x-y=7$ . Как уже отмечалось выше, для этого необходимо знать координаты двух произвольных точек, принадлежащих рассматриваемой прямой.

Для первой прямой $x+y=-1$ имеем:

$x=0\Rightarrow 0+y=-1\Rightarrow y=-1\Rightarrow \left(0;-1\right)$