Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Решение систем линейных уравнений

Определение и формула решения систем линейных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется набор линейных уравнений, записанных один под другим:

    \[ \left\{\begin{array}{l} {a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +...+a_{1n} x_{n} =b_{1} ,} \\ {a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +...+a_{2n} x_{n} =b_{2} ,} \\ {...} \\ {a_{k1} x_{1} +a_{k2} x_{2} +...+a_{kn} x_{n} =b_{k} .} \end{array}\right \ (1) \]

Школьные методы решения систем описаны в статье (\textbf{ссылка на статью «Решение систем уравнений» выше}).

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса — это метод последовательного исключения переменных, когда расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к матрице (системе) треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последней, находятся все остальные неизвестные системы. Метод назван в честь немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Иоганна Карла Фридриха Гаусса (1777-1855), хотя первое известное описание метода встречается уже в китайском трактате «Математика в девяти книгах» (10-2 в.в. до н.э.).

ПРИМЕР 1
Задание Найти решение системы

    \[\left\{\begin{array}{l} {8x_{1} +x_{2} +x_{3} =26,} \\ {x_{1} +5x_{2} -x_{3} =7,} \\ {x_{1} -x_{2} +5x_{3} =7.} \end{array}\right \]

Решение Запишем расширенную матрицу заданной системы:

    \[A|B=\left(\left. \begin{array}{ccc} {8} & {1} & {1} \\ {1} & {5} & {-1} \\ {1} & {-1} & {5} \end{array}\; \right|\; \begin{array}{c} {26} \\ {7} \\ {7} \end{array}\right)\]

С помощью элементарных преобразований над строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Для удобства вычислений, сделаем элемент, стоящий на пересечении первой строки и первого столбца, равным единице. Для этого поменяем местами первую и вторую строки матрицы:

    \[A|B\sim \left(\left. \begin{array}{ccc} {1} & {5} & {-1} \\ {8} & {1} & {1} \\ {1} & {-1} & {5} \end{array}\; \right|\; \begin{array}{c} {7} \\ {26} \\ {7} \end{array}\right)\]

Далее от второй строки отнимаем первую строку, умноженную на восемь, от третей — первую:

    \[A|B\sim \left(\left. \begin{array}{ccc} {1} & {5} & {-1} \\ {0} & {-39} & {9} \\ {0} & {-6} & {6} \end{array}\; \right|\; \begin{array}{c} {7} \\ {-30} \\ {0} \end{array}\right)\]

Далее третью строку поделим на (— 6) и поменяем ее местами со второй строкой, тем самым обеспечим себе равенство единице элемента, сотящего на пересечении второй строки и второго столбца:

    \[A|B\sim \left(\left. \begin{array}{ccc} {1} & {5} & {-1} \\ {0} & {1} & {-1} \\ {0} & {-39} & {9} \end{array}\; \right|\; \begin{array}{c} {7} \\ {0} \\ {-30} \end{array}\right)\]

К третьей строке матрицы прибавим ее вторую строку, умноженную на 39:

    \[A|B\sim \left(\left. \begin{array}{ccc} {1} & {5} & {-1} \\ {0} & {1} & {-1} \\ {0} & {0} & {-30} \end{array}\; \right|\; \begin{array}{c} {7} \\ {0} \\ {-30} \end{array}\right)\]

Последнюю строку делим на (— 30):

    \[A|B\sim \left(\left. \begin{array}{ccc} {1} & {5} & {-1} \\ {0} & {1} & {-1} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\; \right|\; \begin{array}{c} {7} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right)\]

Итак, матрица приведена к ступенчатому виду. Соответствующая ей система имеет вид:

    \[\left\{\begin{array}{l} {x_{1} +5x_{2} -x_{3} =7,} \\ {x_{2} -x_{3} =0,} \\ {x_{3} =1.} \end{array}\right \]

Из последнего уравнения имеем, что x_{3} =1. Подставляем это значение во второе уравнение системы:

    \[x_{2} =x_{3} =1\]

Из первого уравнения получаем:

    \[x_{1} =7-5x_{2} +x_{3} =7-5+1=3\]

Ответ x_{1} =3,\; x_{2} =x_{3} =1

Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

ТЕОРЕМА
Теорема (правило Крамера). Если определитель \Delta =\left|A\right| матрицы СЛАУ (1) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое задается следующими формулами:

    \[x_{1} =\frac{\Delta _{1} }{\Delta } ,\; x_{2} =\frac{\Delta _{2} }{\Delta } ,...,\; x_{n} =\frac{\Delta _{n} }{\Delta } \]

Здесь определители \Delta _{1} ,\; \Delta _{2} ,...,\Delta _{n} получены из определителя \Delta заменой первого, второго,\dots , n-го столбца соответственно столбцом правых частей.

ПРИМЕР 2
Задание Решить систему

    \[ \left\{\begin{array}{l} {8x_{1} +x_{2} +x_{3} =26,} \\ {x_{1} +5x_{2} -x_{3} =7,} \\ {x_{1} -x_{2} +5x_{3} =7.} \end{array}\right \]

Решение Вычислим определитель матрицы системы:

    \[\Delta =\left|\begin{array}{ccc} {8} & {1} & {1} \\ {1} & {5} & {-1} \\ {1} & {-1} & {5} \end{array}\right|=8\cdot 5\cdot 5+1\cdot \left(-1\right)\cdot 1+1\cdot \left(-1\right)\cdot 1-1\cdot 5\cdot 1-\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot 8-1\cdot 1\cdot 5=180\ne 0\]

Вычисляем вспомогательные определители:

    \[\Delta _{1} =\left|\begin{array}{ccc} {26} & {1} & {1} \\ {7} & {5} & {-1} \\ {7} & {-1} & {5} \end{array}\right|=26\cdot 5\cdot 5+7\cdot \left(-1\right)\cdot 1+1\cdot \left(-1\right)\cdot 7-7\cdot 5\cdot 1-\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot 26-7\cdot 1\cdot 5=540\]

    \[\Delta _{2} =\left|\begin{array}{ccc} {8} & {26} & {1} \\ {1} & {7} & {-1} \\ {1} & {7} & {5} \end{array}\right|=8\cdot 7\cdot 5+1\cdot 7\cdot 1+26\cdot \left(-1\right)\cdot 1-1\cdot 7\cdot 1-7\cdot \left(-1\right)\cdot 8-1\cdot 26\cdot 5=180\]

    \[\Delta _{3} =\left|\begin{array}{ccc} {8} & {1} & {26} \\ {1} & {5} & {7} \\ {1} & {-1} & {7} \end{array}\right|=8\cdot 5\cdot 7+1\cdot \left(-1\right)\cdot 26+1\cdot 7\cdot 1-1\cdot 5\cdot 26-\left(-1\right)\cdot 7\cdot 8-1\cdot 1\cdot 7=180\]

Искомое решение

    \[x_{1} =\frac{\Delta _{1} }{\Delta } =\frac{540}{180} =3,\; x_{2} =\frac{\Delta _{2} }{\Delta } =\frac{180}{180} =1,\; x_{3} =\frac{\Delta _{3} }{\Delta } =\frac{180}{180} =1\]

Ответ x_{1} =3,\; x_{2} =x_{3} =1

Матричный метод (метод обратной матрицы)

Матричный метод или метод обратной матрицы базируется на следующем алгоритме:

1. Система (1) записывается в матричной форме AX=B, где

    \[A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {...} & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {...} & {a_{2n} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ {a_{k1} } & {a_{k2} } & {...} & {a_{kn} } \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {...} \\ {x_{n} } \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c} {b_{1} } \\ {b_{2} } \\ {...} \\ {b_{k} } \end{array}\right)\]

2. Из матричного уравнения AX=B получаем, что

    \[X=A^{-1} B\]

где матрица A^{-1} — это обратная матрица к матрице системы A. Обратная матрица A^{-1} находится по формуле:

    \[A^{-1} =\frac{1}{\left|A\right|} \cdot \tilde{A}^{T} \]

Матрица \tilde{A} называется союзной матрицей к матрице A, ее элементами есть алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы A.

Необходимым и достаточным условием применимости матричного метода является неравенство нулю определителя матрицы A.

ПРИМЕР 3
Задание Решить систему

    \[ \left\{\begin{array}{l} {8x_{1} +x_{2} +x_{3} =26,} \\ {x_{1} +5x_{2} -x_{3} =7,} \\ {x_{1} -x_{2} +5x_{3} =7.} \end{array}\right \]

Решение Матричная запись заданной системы AX=B, где

    \[A=\left(\begin{array}{ccc} {8} & {1} & {1} \\ {1} & {5} & {-1} \\ {1} & {-1} & {5} \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c} {26} \\ {7} \\ {7} \end{array}\right)\]

Тогда матрицу-столбец X неизвестных можно будет найти из матричного уравнения

    \[X=A^{-1} B\]

Найдем обратную матрицу к матрице системы A, для этого вычислим определитель \left|A\right| (с помощью метода треугольников):

    \[\left|A\right|=\left|\begin{array}{ccc} {8} & {1} & {1} \\ {1} & {5} & {-1} \\ {1} & {-1} & {5} \end{array}\right|=8\cdot 5\cdot 5+1\cdot \left(-1\right)\cdot 1+1\cdot \left(-1\right)\cdot 1-1\cdot 5\cdot 1-\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot 8-1\cdot 1\cdot 5=180\ne 0\]

Для составления союзной матрицы вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы системы A:

    \[A_{11} =\left(-1\right)^{1+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {5} & {-1} \\ {-1} & {5} \end{array}\right|=24, A_{12} =\left(-1\right)^{1+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {-1} \\ {1} & {5} \end{array}\right|=-6 \]

    \[ A_{13} =\left(-1\right)^{1+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {5} \\ {1} & {-1} \end{array}\right|=-6\]

    \[A_{21} =\left(-1\right)^{2+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-1} & {5} \end{array}\right|=-6, A_{22} =\left(-1\right)^{2+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {8} & {1} \\ {1} & {5} \end{array}\right|=39\]

    \[A_{23} =\left(-1\right)^{2+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {8} & {1} \\ {1} & {-1} \end{array}\right|=9\]

    \[A_{31} =\left(-1\right)^{3+1} \cdot \left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {5} & {-1} \end{array}\right|=-6, A_{32} =\left(-1\right)^{3+2} \cdot \left|\begin{array}{cc} {8} & {1} \\ {1} & {-1} \end{array}\right|=9\]

    \[ A_{33} =\left(-1\right)^{3+3} \cdot \left|\begin{array}{cc} {8} & {1} \\ {1} & {5} \end{array}\right|=39\]

Тогда союзная матрица

    \[\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc} {24} & {-6} & {-6} \\ {-6} & {39} & {9} \\ {-6} & {9} & {39} \end{array}\right)\]

а обратная

    \[A^{-1} =\frac{1}{180} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {24} & {-6} & {-6} \\ {-6} & {39} & {9} \\ {-6} & {9} & {39} \end{array}\right)^{T} =\frac{1}{180} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {24} & {-6} & {-6} \\ {-6} & {39} & {9} \\ {-6} & {9} & {39} \end{array}\right)\]

Таким образом,

    \[X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right)=\frac{1}{180} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {24} & {-6} & {-6} \\ {-6} & {39} & {9} \\ {-6} & {9} & {39} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {26} \\ {7} \\ {7} \end{array}\right)=\frac{1}{180} \cdot \left(\begin{array}{c} {540} \\ {180} \\ {180} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)\]

Ответ x_{1} =3,\; x_{2} =x_{3} =1
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.