Рациональные уравнения

Определение и формулы рациональных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнение вида $f\left(x\right)=0$ (или $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ ), где $f\left(x\right),\; g\left(x\right)$ — некоторые рациональные выражения, называется рациональным уравнением.

Например. $x-2=\frac{x}{x+3}$

Решение такого уравнения сводится к упрощению рационального выражения и нахождению корней полученного эквивалентного уравнения. Если в результате упрощения в левой части получается алгебраическая дробь, то далее используется тот факт, что дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель нет.

Если среди корней числителя окажется число, при котором знаменатель алгебраической дроби обращается в нуль, то такое число называется посторонним корнем и в ответ не включается.

Алгоритм решения рациональных уравнений

Найти область допустимых значений (ОДЗ).
Привести уравнение к виду $f\left(x\right)=0$ , для этого необходимо перенести все члены уравнения в одну часть, например, в левую.
Преобразовать эту часть к виду алгебраической дроби $\frac{m\left(x\right)}{n\left(x\right)}$ , для этого необходимо привести к общему знаменателю и свести подобные.
Решить уравнение $m\left(x\right)=0$ и проверить, принадлежать ли его корни ОДЗ.

ПРИМЕР 1

Задание

Решить уравнение $\frac{2x}{x-1} =\frac{x}{x+1}$

Решение

Находим ОДЗ: знаменатели дробей не равны нулю, то есть

$\left\{\begin{array}{l} {x-1\ne 0,} \\ {x+1\ne 0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {x\ne 1,} \\ {x\ne -1} \end{array}\right. \Rightarrow x\in \left(-\infty ;\; -1\right)\bigcup \left(-1;\; 1\right)\bigcup \left(1;\; +\infty \right)$

Перенесем все слагаемые в левую сторону и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x}{x-1} -\frac{x}{x+1} =0\Rightarrow \frac{2x\left(x+1\right)-x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} =0\Rightarrow \frac{2x^{2} +2x-x^{2} +x}{x^{2} -1} =0\Rightarrow \frac{x^{2} +3x}{x^{2} -1} =0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен (учтено в ОДЗ). То есть приходим к неполному квадратному уравнению

$x^{2} +3x=0\Rightarrow x\left(x+3\right)=0\Rightarrow x_{1} =0,\; x_{2} =-3$

Оба значения принадлежат ОДЗ.

Ответ

$x_{1} =0,\; x_{2} =-3$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Рациональные уравнения

Определение и формулы рациональных уравнений

Алгоритм решения рациональных уравнений