Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Показательные уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение, содержащее неизвестную в показателе степени, называется показательными.

Простейшие показательные уравнения

    \[ a^{x} =b \ (1) \]

В зависимости от знака b такое уравнение имеет различное количество корней:

  1. если b\le 0, то уравнение (1) решений не имеет, то есть

        \[x\in \emptyset ;\]

  2. если b>0, то

        \[x=\log _{a} b\]

ПРИМЕР 1
Задание Решить уравнение 5^{x} =25
Решение Поскольку для данного уравнения b=25>0, то

    \[x=\log _{5} 25\]

Согласно свойствам логарифма, получаем:

    \[x=\log _{5} 5^{2} =2\cdot \log _{5} 5=2\cdot 1=2\]

Ответ x=2
Уравнения вида a^{f\left(x\right)} =b
  1. Если b\le 0\Rightarrow x\in \emptyset.
  2. Если b>0\Rightarrow f\left(x\right)=\log _{a} b.
Уравнения вида

    \[ a^{f\left(x\right)} =a^{g\left(x\right)} \ (2)  \]

Уравнения такого типа равносильны уравнению

    \[f\left(x\right)=g\left(x\right)\]

Уравнения вида \varphi \left(x\right)^{f\left(x\right)} =\varphi \left(x\right)^{g\left(x\right)}
  1. Если \varphi \left(x\right)=1, то обе части такого уравнения равны для любых f\left(x\right),\; g\left(x\right).
  2. Если \varphi \left(x\right)>0,\; \varphi \left(x\right)\ne 1, то уравнение эквивалентно уравнению f\left(x\right)=g\left(x\right).
  3. В случае, если \varphi \left(x\right)=0, то уравнение эквивалентно системе \left\{\begin{array}{l} {f\left(x\right)>0,} \\ {g\left(x\right)>0.} \end{array}\right.
ЗАМЕЧАНИЕ
Итак, уравнение такого типа эквивалентно совокупности систем:

    \[\left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {\varphi \left(x\right)=1,} \\ {x\in R,} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {\varphi \left(x\right)>0,} \\ {\varphi \left(x\right)\ne 1,} \\ {f\left(x\right)=g\left(x\right),} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {\varphi \left(x\right)=0,} \\ {f\left(x\right)>0,} \\ {g\left(x\right)>0.} \end{array}\right. } \end{array}\right. \]

ПРИМЕР 2
Задание Найти корни уравнения x^{2x+1} =x^{3x-4}
Решение Заданное уравнение эквивалентно совокупности

    \[\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {x=1,} \\ {x\in R,} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {x>0,} \\ {x\ne 1,} \\ {2x+1=3x-4,} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {x=0,} \\ {2x+1>0,} \\ {3x-4>0} \end{array}\right. } \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {x=1} \\ {\left\{\begin{array}{l} {x\in \left(0;\; 1\right)\bigcup \left(1;\; +\infty \right),} \\ {-x=-5,} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {x=0,} \\ {x>-\frac{1}{2} ,} \\ {x>\frac{4}{3} } \end{array}\right. } \\ {} \end{array}\right. \Rightarrow  \]

    \[  \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {x=1} \\ {\left\{\begin{array}{l} {x\in \left(0;\; 1\right)\bigcup \left(1;\; +\infty \right),} \\ {x=5,} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {x=0,} \\ {x>\frac{4}{3} ,} \end{array}\right. } \\ {} \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {x=1,} \\ {x=5,} \\ {x\in \emptyset } \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {x=1,} \\ {x=5.} \end{array}\right. } \\ {} \end{array}\]

Ответ x_{1} =1,\; x_{2} =5

Решение показательных уравнений сведением к общему основанию

Если левая и правая части заданного показательного уравнения содержат только произведения, частные, корни или степени, то рациональнее при помощи основных формул для степеней привести обе части равенства к одному основанию, то есть к уравнению вида (2).

ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение 2^{x-3} \cdot 4^{x} =\frac{\sqrt{2} }{16^{x} }
Решение Приведем обе части заданного уравнения к основанию два:

    \[2^{x-3} \cdot \left(2^{2} \right)^{x} =\frac{2^{^{\frac{1}{2} } } }{\left(2^{4} \right)^{x} } \]

    \[2^{x-3} \cdot 2^{2x} =\frac{2^{^{\frac{1}{2} } } }{2^{4x} } \Rightarrow 2^{x-3+2x} =2^{^{\frac{1}{2} -4x} } \Rightarrow 2^{3x-3} =2^{^{\frac{1}{2} -4x} } \]

Пришли к уравнению вида (2), тогда его решение:

    \[3x-3=\frac{1}{2} -4x\Rightarrow 7x=\frac{7}{2} \Rightarrow x=\frac{1}{2} .\]

Ответ x=\frac{1}{2}

Решение показательных уравнений вынесением общего множителя

Если показательное уравнение содержит выражение вида a^{kx+b}, причем показатели степени отличаются только свободным коэффициентом, то для решения необходимо вынести за скобки наименьшую степень a.

ПРИМЕР 4
Задание Решить уравнение 5^{x} -2\cdot 5^{x-2} =23
Решение Выносим пять в наименьшей степени, то есть в степени \left(x-2\right). При этом нужно каждое слагаемое поделить на указанный множитель:

    \[5^{x-2} \cdot \left(5^{x-\left(x-2\right)} -2\right)=23\Rightarrow 5^{x-2} \cdot \left(5^{x-x+2} -2\right)=23\Rightarrow 5^{x-2} \cdot \left(25-2\right)=23\Rightarrow \]

    \[\Rightarrow 5^{x-2} \cdot 23=23\Rightarrow 5^{x-2} =1\]

А тогда:

    \[x-2=\log _{5} 1\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2\]

Замечание. Если учесть, что 1=a^{0}, то уравнение 5^{x-2} =1 можно было свести к уравнению (2):

    \[5^{x-2} =1\Rightarrow 5^{x-2} =5^{0} \Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2\]

Ответ x=2

Приведение показательных уравнений к квадратным

К показательным уравнениям, которые можно привести к квадратным, относятся следующие уравнения.

    \[ A\cdot a^{2x} +B\cdot a^{x} +C=0 \]

где A\ne 0,\; B,\; C — некоторые числа, a>0,\; a\ne 1.

В этом случае выполняется замена

    \[a^{x} =t,\; t>0\]

ПРИМЕР 5
Задание Решить уравнение 4^{x+1} -3\cdot 2^{x} =10
Решение Приведем уравнение к одному основанию:

    \[4^{x} \cdot 4-3\cdot 2^{x} -10=0\Rightarrow 4\cdot \left(2^{2} \right)^{x} -3\cdot 2^{x} -10=0\Rightarrow 4\cdot \left(2^{x} \right)^{2} -3\cdot 2^{x} -10=0\]

Выполним замену

    \[2^{x} =t,\; t>0\]

тогда будем иметь:

    \[4t^{2} -3t-10=0\]

Решим полученное квадратное уравнение:

    \[D=\left(-3\right)^{2} -4\cdot 4\cdot \left(-10\right)=9+160=169=13^{2} \]

    \[t_{1} =\frac{3+13}{2\cdot 4} =\frac{16}{8} =2, t_{2} =\frac{3-13}{2\cdot 4} =-\frac{10}{8} =-\frac{5}{4} <0\notin {\rm }\]

Обратная замена приводит к простейшему показательному уравнению 2^{x} =2:

    \[2^{x} =2^{1} \Rightarrow x=1 \]

Ответ x=1

    \[A\cdot a^{f\left(x\right)} +B\cdot a^{-f\left(x\right)} +C=0\]

где A,\; B,\; a — некоторые ненулевые числа, причем a\ne 1, C — произвольное действительное число. Для сведения к квадратному обе части уравнения необходимо умножить на a^{f\left(x\right)} >0:

    \[A\cdot \left(a^{f\left(x\right)} \right)^{2} +B+C\cdot a^{f\left(x\right)} =0\]

Далее заменой a^{f\left(x\right)} =t,\; t>0 получаем квадратное уравнение

    \[At^{2} +Ct+B=0\]

ПРИМЕР 6
Задание Решить уравнение 3^{x} +3^{2-x} =10
Решение Запишем заданное уравнение следующим образом:

    \[3^{x} +3^{2} \cdot 3^{-x} =10.\]

Умножив на 3^{x} >0, будем иметь:

    \[\left(3^{x} \right)^{2} +9=10\cdot 3^{x} \Rightarrow \left(3^{x} \right)^{2} -10\cdot 3^{x} +9=0\]

После замены 3^{x} =t,\; t>0получаем квадратное уравнение

    \[t^{2} -10t+9=0\]

корни которого по теореме Виета, t_{1} =9,\; t_{2} =1 Обратная замена:

    \[\left[\begin{array}{l} {3^{x} =9,} \\ {3^{x} =1} \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {3^{x} =3^{2} ,} \\ {3^{x} =3^{0} } \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} {x=2,} \\ {x=0.} \end{array}\right \]

Ответ x_{1} =2,\; x_{2} =0

Однородные показательные уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Однородным показательным уравнением первой степени называется уравнение вида

    \[a^{f\left(x\right)} =b^{f\left(x\right)} \]

Делением обеих его частей на a^{f\left(x\right)} >0 (или b^{f\left(x\right)} >0), сводим уравнение к показательному вида a^{f\left(x\right)} =b:

    \[\frac{a^{f\left(x\right)} }{b^{f\left(x\right)} } =1\Rightarrow \left(\frac{a}{b} \right)^{f\left(x\right)} =1\Rightarrow f\left(x\right)=0\]

ПРИМЕР 7
Задание Решить уравнение 2^{x+1} =3^{x+1}
Решение Поделим обе части заданного уравнения на 3^{x+1} >0:

    \[\left(\frac{2}{3} \right)^{x+1} =1\]

тогда

    \[x+1=\log _{\frac{2}{3} } 1\Rightarrow x+1=0\Rightarrow x=-1\]

Ответ x=-1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Однородным показательным уравнением второй степени называется уравнение вида

    \[A\cdot a^{2f\left(x\right)} +B\cdot a^{f\left(x\right)} \cdot b^{f\left(x\right)} +C\cdot b^{2f\left(x\right)} =0\]

Схема решения таких уравнений следующая:

1) Делим обе части уравнения или на a^{2f\left(x\right)} >0, или на b^{2f\left(x\right)} >0, в результате получаем:

    \[\left. A\cdot a^{2f\left(x\right)} +B\cdot a^{f\left(x\right)} \cdot b^{f\left(x\right)} +C\cdot b^{2f\left(x\right)} =0,\right|:b^{2f\left(x\right)} >0\]

A\cdot \frac{a^{2f\left(x\right)} }{b^{2f\left(x\right)} } +B\cdot \frac{a^{f\left(x\right)} \cdot b^{f\left(x\right)} }{b^{2f\left(x\right)} } +C=0

или

A\cdot \left(\frac{a}{b} \right)^{2f\left(x\right)} +B\cdot \left(\frac{a}{b} \right)^{f\left(x\right)} +C=0;

2) заменой \left(\frac{a}{b} \right)^{f\left(x\right)} =t,\; t>0 последнее уравнение сводится к квадратному:

    \[At^{2} +Bt+C=0\]

ПРИМЕР 8
Задание Решить уравнение 4^{x} +6^{x} =2\cdot 9^{x}
Решение Перенесем все слагаемые в лево и выполним некоторые тождественные преобразования:

    \[\left(2^{2} \right)^{x} +\left(2\cdot 3\right)^{x} -2\cdot \left(3^{2} \right)^{x} =0 \]

    \[\left. \left(2^{x} \right)^{2} +2^{x} \cdot 3^{x} -2\cdot \left(3^{x} \right)^{2} =0,\right|:3^{2x} >0\]

    \[\left(\left(\frac{2}{3} \right)^{x} \right)^{2} +\left(\frac{2}{3} \right)^{x} -2=0\]

После замены \left(\frac{2}{3} \right)^{x} =t,\; t>0, получаем квадратное уравнение

    \[t^{2} +t-2=0\]

корни которого

    \[t_{1} =-2<0\notin {\rm ,}\; t_{2} =1\]

После обратной замены получаем простейшее показательное уравнение

    \[\left(\frac{2}{3} \right)^{x} =1\Rightarrow \left(\frac{2}{3} \right)^{x} =\left(\frac{2}{3} \right)^{0} \Rightarrow x=0\]

Ответ x=0
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.