Параметрические уравнения и их решение

Параметрические уравнения — используемая в математике разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину, называемую параметром.

Определение и формулы параметрических уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть функциональная зависимость между переменными $x$ и $y$ задана не явным уравнением $y=f\left(x\right)$ , а через промежуточную величину — параметр $t$ . Тогда уравнения

$\left\{\begin{array}{l} {x=\varphi \left(t\right),} \\ {y=\psi \left(t\right)} \end{array}\right$

называются параметрическими уравнениями функции одной переменной.

Например. $\left\{\begin{array}{l} {x=t,} \\ {y=\sin t+1.} \end{array}\right$

Пусть функции $\varphi \left(t\right)$ и $\psi \left(t\right)$ являются дифференцируемыми функциями (то есть для них существуют производные $\varphi '\left(t\right)$ и $\psi '\left(t\right)$ соответственно) и для функции $\varphi \left(t\right)$ существует обратная функция $\theta \left(x\right)=\varphi ^{-1} \left(x\right)$ , тогда явное представление функции $y\left(x\right)$ через параметрическое имеет вид:

$y=\psi \left(\varphi ^{-1} \left(x\right)\right)=\psi \left(\theta \left(x\right)\right)=f\left(x\right)$

производная этой функции вычисляется по формуле:

$y'\left(x\right)=\frac{y'\left(t\right)}{x'\left(t\right)} =\frac{\psi '\left(t\right)}{\varphi '\left(t\right)}$

Некоторые неявно заданные функции проще привести к параметрическому виду, чем записать зависимость вида $y=f\left(x\right)$ .

Например. Каноническое уравнение окружности радиуса $R$ с центр в начале координат имеет вид:

$x^{2} +y^{2} =R^{2} ,$

а ее параметрические уравнения

$\left\{\begin{array}{l} {x=R\cos t,} \\ {y=R\sin t.} \end{array}\right$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Параметрические уравнения и их решение

Определение и формулы параметрических уравнений