Нелинейные уравнения

Определение и формулы нелинейных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Нелинейным называется уравнение вида , где — некоторая нелинейная функция.

Например. .

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса: алгебраические и трансцендентные. Методы решения таких уравнений делятся на две группы: точные и итерационные (или численные) методы. Точные методы позволяют записать решение в виде формулы. Доказано, что нельзя записать аналитическое решение для алгебраических уравнений степени выше четвертой. В некоторых случаях уравнение содержит приближенные коэффициенты. Для решения подобных уравнений используются итерационные методы с наперед заданной точностью. Решить уравнение итерационным методом — это означает, что надо установить, имеет ли оно корни, определить количество корней и найти значения корней с нужной точностью.

Решение нелинейных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Корнем уравнения н называется такое значение , что .

ТЕОРЕМА

Если функция

1. непрерывна на отрезке вместе со своими производными первого и второго порядков;
2. значения функции на концах отрезка разных знаков: ;
3. первая и вторая производные сохраняют определенный знак на всем отрезке (то есть функция является монотонной на рассматриваемом отрезке),

то уравнение имеет единственное решение на отрезке .

Задача нахождения корня уравнения численными методами состоит из следующих шагов:

1. отделение корней, то есть отыскание приближенного значения корня или содержащего его промежутка. Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции в предельных точках и области ее существования;
2. уточнение приближенных корней.

ПРИМЕР 1

Задание	Отделить корни уравнения
Решение	Для заданного уравнения . Составим таблицу для определения знаков этой функции в некоторых точках: Определяем промежутки, на которых лежать действительные корни заданного уравнения, для этого смотрим на значения, при переходе через которые функция меняет знак. Таким образом, уравнение имеет три действительных корня, которым принадлежат промежуткам .
Ответ	Корни уравнения лежат на промежутках