Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Матричные уравнения и их решение

Определение и формулы матричных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Матричным уравнением называется уравнение, состоящее из нескольких матриц-коэффициентов и неизвестной матрицы X.

Простейшим матричным уравнением есть уравнение вида AX=B или XA=B,

где A,\; B,\; X — матрицы.

Алгоритм решения матричных уравнений

1. Матричное уравнение приводится к одному из простейших уравнений:

AX=B или XA=B \ (1)

где A,\; B — известные матрицы, X — искомая (неизвестная) матрица.

ЗАМЕЧАНИЕ
Существует также уравнение вида AXB=C, но оно является комбинацией методов решения двух первых указанных простейших уравнений.

Чтобы привести произвольное матричное уравнение к одному из видов (1), надо все известные матрицы по свойствам уравнений перенести вправо, а неизвестную матрицу в левой части и свести подобные.

2. Разрешаем полученное простейшее уравнение относительно неизвестной матрицы X.

2.1 Если в результате преобразований получили простейшее уравнение AX=B, то необходимо левую и правую часть этого равенства слева умножить на обратную матрицу A^{-1} к матрице A:

    \[AX=B\Rightarrow A^{-1} AX=A^{-1} B\Rightarrow EX=A^{-1} B\Rightarrow X=A^{-1} B\]

ЗАМЕЧАНИЕ
Поскольку умножение матриц некоммутативно, то нужно строго соблюдать умножение слева или справа, иначе это влияет на результат.

2.2 Для простейшего уравнения XA=B после умножения справа на обратную матрицу A^{-1} получаем:

    \[XA=B\Rightarrow XAA^{-1} =BA^{-1} \Rightarrow XE=BA^{-1} \Rightarrow X=BA^{-1} \]

ЗАМЕЧАНИЕ
Обратная матрица A^{-1} находится либо методом союзной матрицы, либо методом присоединенной матрицы.

3. Далее вычисляется одно из произведений A^{-1} B или BA^{-1}, что и определяет искомую матрицу.

4. Делаем проверку, для этого подставляем найденную матрицу X в исходное уравнение.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Решить уравнение

    \[ \left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {3} & {-1} \end{array}\right)-2X=3\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {1} & {0} \end{array}\right) \]

Решение В левой части оставляем слагаемое с искомой матрицей X, в правую часть переносим все известные матрицы и производим умножение матрицы \left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {1} & {0} \end{array}\right) на число 3 (для этого каждый элемент указанной матрицы умножаем на это число):

    \[-2X=\left(\begin{array}{cc} {6} & {-3} \\ {3} & {0} \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {3} & {-1} \end{array}\right)\]

В правой части полученного уравнения выполняем вычитание матриц (от элементов первой матрицы отнимаем соответствующие элементы второй):

    \[-2X=\left(\begin{array}{cc} {5} & {-3} \\ {0} & {1} \end{array}\right)\]

Для нахождения искомой матрицы делим левую и правую части последнего уравнения на (— 2):

    \[X=-\frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} {5} & {-3} \\ {0} & {1} \end{array}\right)\]

Ответ X=-\frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} {5} & {-3} \\ {0} & {1} \end{array}\right)
ПРИМЕР 2
Задание Решить матричное уравнение

    \[ \left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {3} & {2} \end{array}\right)X=\left(\begin{array}{cc} {0} & {2} \\ {1} & {-1} \end{array}\right) \]

Решение Заданное уравнение является простейшим матричным уравнением первого типа. Для нахождения неизвестной матрицы X умножим его левую и правую части слева на обратную к матрице A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {3} & {2} \end{array}\right):

    \[X=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {3} & {2} \end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{cc} {0} & {2} \\ {1} & {-1} \end{array}\right)\]

На данном этапе задача сводится к нахождению обратной матрицы. Ее найдем методом союзной матрицы:

    \[A^{-1} =\frac{1}{\left|A\right|} \tilde{A}^{T} \]

где \left|A\right| — определитель матрицы A; \tilde{A} — союзная к A матрица, то есть матрица, состоящая из алгебраических дополнений к ее элементам; B^{T} — транспонирование матрицы, то есть операция, состоящая в том, что строки матрицы B становятся ее столбцами с теми же номерами.

Для заданной матрицы A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {3} & {2} \end{array}\right) имеем:

    \[\left|\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {3} & {2} \end{array}\right|=2\cdot 2-3\cdot 1=4-3=1\]

алгебраические дополнения:

    \[A_{11} =\left(-1\right)^{1+1} \cdot 2=2,\; A_{12} =\left(-1\right)^{1+2} \cdot 3=-3,\]

    \[A_{21} =\left(-1\right)^{2+1} \cdot 1=-1,\; A_{22} =\left(-1\right)^{2+2} \cdot 2=2\]

Тогда

    \[\tilde{A}=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-3} \\ {-1} & {2} \end{array}\right)\]

а обратная матрица

    \[A^{-1} =\frac{1}{1} \cdot \left(\begin{array}{cc} {2} & {-3} \\ {-1} & {2} \end{array}\right)^{T} =\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {-3} & {2} \end{array}\right)\]

Таким образом, искомая матрица

    \[X=\left(\begin{array}{cc} {2} & {-1} \\ {-3} & {2} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc} {0} & {2} \\ {1} & {-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {2\cdot 0+\left(-1\right)\cdot 1} & {2\cdot 2+\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)} \\ {-3\cdot 0+2\cdot 1} & {-3\cdot 2+2\cdot \left(-1\right)} \end{array}\right)=\]

    \[=\left(\begin{array}{cc} {-1} & {5} \\ {2} & {-8} \end{array}\right)\]

Ответ X=\left(\begin{array}{cc} {-1} & {5} \\ {2} & {-8} \end{array}\right)
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.