Решение кубических уравнений

Определение и формула кубического уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Кубическим уравнением или уравнением третьей степени называется уравнение вида

$ax^{3} +bx^{2} +cx+d=0 \ (1)$

Решение таких уравнений всегда можно найти с помощью формул Кардано (Джероламо (Джироламо, Иероним) Кардано (1501-1576) — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог).

Формулы Кардано — формулы для нахождения корней приведенного кубического уравнения

$y^{3} +py+q=0 \ (2)$

К такому виду может быть приведено любое кубическое уравнение общего вида (1) заменой $x=y-\frac{b}{3a}$ . Коэффициенты уравнений (1) и (2) после такой замены связаны соотношениями:

$p=-\frac{b^{2} }{3a^{2} } +\frac{c}{a} , q=\frac{2b^{3} }{27a^{3} } -\frac{bc}{3a^{2} } +\frac{d}{a} \ (3)$

Решение приведенного кубического уравнения (2) ищем в виде

$y=u+v$

После подстановки уравнение сводится к виду

$u^{3} +v^{3} +3uv\left(u+v\right)+a\left(u+v\right)+b=0$

Функции $u$ и $v$ выбираются так, чтобы слагаемое

$3uv+a=0$

Для нахождения функций $u$ и $v$ нужно решить систему

$\left\{\begin{array}{l} {u^{3} +v^{3} =-b,} \\ {u^{3} v^{3} =-\frac{a^{3} }{27} ,} \end{array}\right$

которая после замены $u^{3} =t_{1}$ , $v^{3} =t_{2}$ приводится к системе

$\left\{\begin{array}{l} {t_{1} +t_{2} =-b,} \\ {t_{1} t_{2} =-\frac{a^{3} }{27} .} \end{array}\right$

Согласно теореме Виета, значения $t_{1}$ и $t_{2}$ являются корнями квадратного уравнения

$t^{2} +bt-\frac{a^{3} }{27} =0$

Откуда

$t_{1,\; 2} =\frac{-b\pm \sqrt{b^{2} +\frac{4a^{3} }{27} } }{2}$

Выполняя обратную замену, находим три такие пары $u_{i}$ и $v_{i}$ , удовлетворяющие условию $3u_{i} v_{i} +a=0$ . А тогда находим три корня уравнения (2) $y_{i} =u_{i} +v_{i}$ , откуда $x_{i} =y_{i} -\frac{b}{3a}$ .

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Используя метод Кардано, найти решение кубического уравнения $2x^{3} -x^{2} +5x-1=0$ .

Решение

Для заданного уравнения $a=2$ , $b=-1$ , $c=5$ и $d=-1$ . Приведем данное уравнение к каноническому виду $y^{3} +py+q=0$ с помощью замены

$x=y-\frac{b}{3a} =y-\frac{-1}{6} =y+\frac{1}{6}$

Неизвестные коэффициенты, согласно (3),

$p=-\frac{\left(-1\right)^{2} }{3\cdot 2^{2} } +\frac{5}{2} =-\frac{1}{12} +\frac{5}{2} =\frac{29}{12} , q=\frac{2\cdot \left(-1\right)^{3} }{27\cdot 2^{3} } -\frac{\left(-1\right)\cdot 5}{3\cdot 2^{2} } +\frac{-1}{2} =-\frac{5}{54}$

Итак, в результате получаем приведенное уравнение

$y^{3} +\frac{29}{12} y-\frac{5}{54} =0$

Его решение ищем в виде:

$y=u+v$

Подставляем это выражение в уравнение:

$\left(u+v\right)^{3} +\frac{29}{12} \left(u+v\right)-\frac{5}{54} =0$

или после упрощения

$u^{3} +v^{3} +\left(3uv+\frac{29}{12} \right)\left(u+v\right)-\frac{5}{54} =0 \ (4)$

Функции $u$ и $v$ ищем так, чтобы имело место равенство

$3uv+\frac{29}{12} =0 \ (5)$

Тогда уравнение (4) принимает вид:

$u^{3} +v^{3} -\frac{5}{54} =0\Rightarrow u^{3} +v^{3} =\frac{5}{54}$

а из равенства (5) получаем

$uv=-\frac{29}{36} \Rightarrow u^{3} v^{3} =-\frac{29^{3} }{36^{3} }$

Таким образом, получили систему

$\left\{\begin{array}{l} {u^{3} +v^{3} =\frac{5}{54} ,} \\ {u^{3} v^{3} =-\frac{29^{3} }{36^{3} } .} \end{array}\right$

Делаем замену $u^{3} =t_{1}$ , $v^{3} =t_{2}$ , тогда последняя система в новых переменных:

$\left\{\begin{array}{l} {t_{1} +t_{2} =\frac{5}{54} ,} \\ {t_{1} t_{2} =-\frac{29^{3} }{36^{3} } .} \end{array}\right$

Согласно теореме Виета, неизвестные величины $t_{1}$ и $t_{2}$ являются корнями квадратного уравнения

$t^{2} -\frac{5}{54} t-\frac{29^{3} }{36^{3} } =0.=$

Найдем его решения. Дискриминант

$D=\left(-\frac{5}{54} \right)^{2} -4\cdot 1\cdot \left(-\frac{29^{3} }{36^{3} } \right)=\frac{907}{432} =\left(\frac{\sqrt{2721} }{36} \right)^{2}$

Тогда

$t_{1} =\frac{\frac{5}{54} +\frac{\sqrt{2721} }{36} }{2} =\frac{10+3\sqrt{2721} }{216} , t_{2} =\frac{\frac{5}{54} -\frac{\sqrt{2721} }{36} }{2} =\frac{10-3\sqrt{2721} }{216}$

Возвращаясь к переменным $u$ и $v$ , получаем, что

$u^{3} =\frac{10+3\sqrt{2721} }{216} , v^{3} =\frac{10-3\sqrt{2721} }{216}$

Найдем числа $u_{k} ,\; v_{k} ,\; k=\overline{0;\; 2}$ , удовлетворяющие этим уравнениям. Для этого обозначим

$\alpha =\left|u_{k} \right|=\sqrt[{3}]{\frac{10+3\sqrt{2721} }{216} } , \beta =\left|v_{k} \right|=\sqrt[{3}]{\frac{3\sqrt{2721} -10}{216} }$

(корень считается арифметическим). Также отметим, что $\alpha \beta =\left|u\right|\left|v\right|=\left|uv\right|=\frac{29}{36}$ .

Поскольку $u^{3} =\alpha ^{3} e^{i\cdot 0}$ и $v^{3} =-\beta ^{3} =\beta ^{3} e^{i\pi }$ , то, по формуле Муавра в показательной форме

$u_{k} =\alpha e^{\frac{2\pi k}{3} i} ,\; v_{k} =\beta e^{\frac{\pi +2\pi k}{3} i} ,\; k=\overline{0;\; 2}$

Выпишем все три значения корня:

$u_{0} =\alpha e^{0i} ,\; u_{1} =\alpha e^{\frac{2\pi }{3} i} ,\; u_{2} =\alpha e^{\frac{4\pi }{3} i}$

$v_{0} =\beta e^{\frac{\pi }{3} i} ,\; v_{1} =\beta e^{\pi i} ,\; v_{2} =\beta e^{\frac{5\pi }{3} i}$

Произведение $uv=-\frac{29}{36}$ — отрицательное действительное число, то есть число, аргумент которого равен $\pi +2\pi m,\; m\in Z$ . Так как при умножении комплексных чисел их аргументы складываются, то нам нужно рассматривать такие пары чисел $u_{0}$ и $v_{1}$ , $u_{1}$ и $v_{0}$ , $u_{2}$ и $v_{2}$ .

Таким образом, корнями кубического уравнения $y^{3} +\frac{29}{12} y-\frac{5}{54} =0$ есть

$y_{1} =u_{0} +v_{1} =\alpha e^{0i} +\beta e^{\pi i} =\alpha -\beta$

$y_{2} =u_{1} +v_{0} =\alpha e^{\frac{2\pi }{3} i} +\beta e^{\frac{\pi }{3} i} =\alpha \left(-\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)+\beta \left(\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \right)=\frac{\beta -\alpha }{2} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \left(\alpha +\beta \right)$

$y_{3} =u_{2} +v_{2} =\frac{\beta -\alpha }{2} -i\frac{\sqrt{3} }{2} \left(\alpha +\beta \right)$

А тогда решения исходного кубического уравнения, вычисляемые по формулам $x_{k} =y_{k} +\frac{1}{6} ,\; k=\overline{1;\; 3}$ .

Ответ

$x_{1} =\alpha -\beta +\frac{1}{6}$

$x_{2} =\frac{\beta -\alpha }{2} +\frac{1}{6} +i\frac{\sqrt{3} }{2} \left(\alpha +\beta \right)$

$x_{3} =\frac{\beta -\alpha }{2} +\frac{1}{6} -i\frac{\sqrt{3} }{2} \left(\alpha +\beta \right)$

, где $\alpha =\frac{\sqrt[{3}]{10+3\sqrt{2721} } }{6}$ , $\beta =\frac{\sqrt[{3}]{3\sqrt{2721} -10} }{6}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Решение кубических уравнений

Определение и формула кубического уравнения

Примеры решения задач