Корни квадратного уравнения

Определение и формула для вычисления корней квадратного уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадратным уравнением называется уравнение

$ax^{2} +bx+c=0,\; a\ne 0,\; b,\; c\in R \ (1)$

Корни квадратного уравнения (1) вычисляются по формуле

$x_{1,\; 2} =\frac{-b\pm \sqrt{D} }{2a}$

Величина $D=b^{2} -4ac$ называют дискриминантом квадратного уравнения.

В зависимости от знака дискриминанта, квадратное уравнение (1) может иметь различное количество корней: если $D>0$ , то два различных действительных корня; если $D=0$ , то два совпадающих действительных корня; если же $D<0$ , то квадратное уравнение (1) действительных корней не имеет.

ЗАМЕЧАНИЕ

Если учитывать и комплексные значения, то в случае $D<0$ , квадратное уравнение (1) с действительными коэффициентами имеет два комплексно сопряженных корня (учитывается, что $\sqrt{-1} =i$ — мнимая единица). Но в элементарной математике этот случай не рассматривается.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Решить квадратное уравнение $x^{2} +5x-6=0$

Решение

Для рассматриваемого квадратного уравнения имеем:

$a=1,\; b=5,\; c=-6$

Тогда дискриминант

$D=5^{2} -4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=25+24=49=7^{2} >0$

Поскольку $D>0$ , то заданное уравнение имеет два различных действительных корня

$x_{1,\; 2} =\frac{-5\pm 7}{2\cdot 1} =\left[\begin{array}{l} {1,} \\ {-6.} \end{array}\right$

Ответ

$x_{1} =1,\; x_{2} =-6$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти корни квадратного уравнения $x^{2} -2x+2=0$

Решение

Дискриминант

$D=\left(-2\right)^{2} -4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0$

Поскольку дискриминант отрицательный, то заданное уравнение имеет комплексные корни:

$x_{1,\; 2} =\frac{2\pm \sqrt{-4} }{2\cdot 1} =\frac{2\pm \sqrt{4\cdot \left(-1\right)} }{2} =\frac{2\pm 2\cdot \sqrt{-1} }{2} =\frac{2\pm 2i}{2} =1\pm i$

Ответ

$x_{1,\; 2} =1\pm i$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Корни квадратного уравнения

Определение и формула для вычисления корней квадратного уравнения

Примеры решения задач