Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Интегральные уравнения

Определения и формулы интегральных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Интегральное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную (искомую) функцию под знаком интеграла.

Например. x+\int _{2}^{3}\left(x+1\right)f\left(x\right)dx =x+t

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Линейным интегральным уравнением называется интегральное уравнение, в которое искомая функция входит линейно.

Например. \lambda \int K\left(x;\; s\right)\varphi \left(s\right)ds =f\left(x\right)

Здесь \varphi \left(x\right) — неизвестная функция, относительно которое ищется решение, f\left(x\right),\; K\left(x;\; s\right) — заданные функции; \lambda — параметр. Функция K\left(x;\; s\right) называется ядром, а функция f\left(x\right)свободным членом интегрального уравнения.

Если f\left(x\right)\equiv 0, то интегральное уравнение называется однородным; в противном случае — неоднородным.

В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить на несколько видов.

Интегральные уравнения Фредгольма

Уравнения Фредгольма первого рода называется интегральное уравнение вида

    \[\lambda \int _{a}^{b}K\left(x;\; s\right)\varphi \left(s\right)ds +f\left(x\right)=0\]

Например. \int _{0}^{1}\left(x+s\right)\varphi \left(s\right)ds =x

Интегральным уравнением Фредгольма второго рода называется уравнение вида

    \[\varphi \left(x\right)=\lambda \int _{a}^{b}K\left(x;\; s\right)\varphi \left(s\right)ds +f\left(x\right)\]

Пределы интегрирования — a и b — могут быть как конечными, так и бесконечными.

Например. \varphi \left(x\right)=2\int _{1}^{2}x\cdot s\cdot \varphi \left(s\right)ds +x+1}

ЗАМЕЧАНИЕ
Отличие интегрального уравнения Фредгольма первого рода от интегрального уравнения Фредгольма второго рода в том, что в нем отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию \varphi \left(x\right) вне интеграла.

Интегральные уравнения Вольтерра

Уравнения Вольтерра первого рода — это интегральное уравнение вида

    \[\lambda \int _{a}^{x}K\left(x;\; s\right)\varphi \left(s\right)ds =f\left(x\right)\]

Например. \int _{1}^{x}\left(x^{2} +2s\right)\varphi \left(s\right)ds =1

Интегральным уравнением Вольтерра второго рода называется уравнение

    \[\varphi \left(x\right)=\lambda \int _{a}^{x}K\left(x;\; s\right)\varphi \left(s\right)ds +f\left(x\right)\]

Например. \varphi \left(x\right)=\int _{2}^{x}\left(x+s\right)\varphi \left(s\right)ds +x^{2}

Следующие уравнения относятся к нелинейным интегральным уравнениям.

Интегральным уравнением Урысона называется уравнение

    \[\varphi \left(x\right)=\int _{a}^{b}K\left(x;\; s;\; \varphi \left(s\right)\right)ds \]

Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона:

    \[\varphi \left(x\right)=\int _{a}^{b}K\left(x;\; s\right)F\left(s;\; \varphi \left(s\right)\right)ds \]

Уравнением Ляпунова-Лихтенштейна принято называть уравнение, содержащее существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:

    \[\varphi \left(x\right)=f\left(x\right)+\lambda \int _{a}^{b}K\left[1\right]\left(x;\; s\right)\varphi \left(s\right)ds +\mu \int _{a}^{b}\int _{a}^{b}K\left[1;\; 1\right]\left(x;\; s;\; z\right)\varphi \left(s\right)\varphi \left(z\right)dsdz  +...\]

Нелинейное уравнение Вольтерры — это уравнение

    \[\varphi \left(x\right)=\lambda \int _{a}^{x}F\left(x;\; s;\; \varphi \left(s\right)\right)ds \]

где функция F\left(x;\; s;\; \varphi \left(s\right)\right) непрерывна по совокупности своих переменных.

Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.