Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства дифференциалов

1. Дифференциал константы равен нулю:

    \[    dC = 0\text{ },\text{ } C = \text{const}    \]

ПРИМЕР
d(e^2) = 0

2. Дифференциал суммы функций равен сумме дифференциалов слагаемых:

    \[    d(u(x) + v(x)) = du(x) + dv(x)    \]

ПРИМЕР
d(\ln x + 3^x) = d(\ln x) + d(3^x)

Следствие. Если две функции отличаются на константу, то их дифференциалы равны:

    \[ 	v(x) = u(x) + C \text{ } \Rightarrow \text{ } dv(x) = d(u(x) + C) = du(x)\text{ },\text{ } C = \text{const} 	\]

3. Дифференциал произведения двух функций равен произведению дифференциала первой функции на вторую плюс первая функция на дифференциал второй:

    \[    d(u(x) \cdot v(x)) = d(u(x)) \cdot v(x) + u(x) \cdot d(v(x))    \]

ПРИМЕР
d(e^x \cdot \sin x) = d(e^x) \cdot \sin x + e^x \cdot d(\sin x)

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала:

    \[ 	d(Cu(x)) = Cdu(x)\text{ },\text{ } C = \text{const} 	\]

4. Дифференциал частного двух функций u(x) и v(x) задается формулой:

    \[    d \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{du(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot dv(x)}{(v(x))^2} \text{ },\text{ } v(x) \ne 0    \]

ПРИМЕР

5. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента независимо от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.