Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная показательной функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная показательной функции равна этой показательной функции, умноженной на натуральный логарифм основания степени.

    \[    \left( a^{x} \right)' = a^{x} \ln a \]

Если основание степени равно e: a=e, то формула принимает вид:

    \[    \left( e^{x} \right)' = e^{x} \ln e = e^{x} \cdot 1 = e^{x} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции

    \[    y(x) = 5^{x^{2}} \]

Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( 5^{x^{2}} \right)' \]

Производную находим по формуле для показательной функции и так как степень есть выражением более сложным, чем просто x, то умножаем еще и на производную степени, то есть

    \[    y'(x) = \left( 5^{x^{2}} \right)' = 5^{x^{2}} \cdot \left( x^{2} \right)' \]

Производную x^{2} найдем как производную степенной функции:

    \[    \left( x^{2} \right)' = 2 x^{2-1} = 2x \]

Тогда

    \[    y'(x) = 5^{x^{2}} \cdot \left( x^{2} \right)' = 5^{x^{2}} \cdot 2x = 2x \cdot 5^{x^{2}} \]

Ответ y'(x) = 2x \cdot 5^{x^{2}}
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \cos 4^{x}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \cos 4^{x} \right)' \]

Производная косинуса равна минус синусу, и еще умножаем на производную аргумента, так как он (аргумент) отличен от x:

    \[    y'(x) = \left( \cos 4^{x} \right)' = -\sin 4^{x} \cdot \left( 4^{x} \right)' \]

Производная от показательной функции

    \[    \left( 4^{x} \right)' = 4^{x} \ln 4 \]

Итак, имеем:

    \[    y'(x) = -\sin 4^{x} \cdot \left( 4^{x} \right)' = -\sin 4^{x} \cdot 4^{x} \ln 4 \]

Ответ y'(x) = -\sin 4^{x} \cdot 4^{x} \ln 4