Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная по направлению

Пусть задана функция трех переменных u = f(x; y; z) , определенная в некоторой области пространства Oxyz .

Под производной рассматриваемой функции u = f(x; y; z) в данном направлении \overline{l} = (l_x; l_y; l_z) понимается выражение

    \[ \frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta + \frac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma \]

где \cos \alpha = \frac{l_x}{|\overline{l}|}; \cos \beta = \frac{l_y}{|\overline{l}|}; \cos \gamma = \frac{l_z}{|\overline{l}|} – направляющие косинусы вектора \overline{l} и |\overline{l}| = \sqrt{l_x^2 + l_y^2 + l_z^2}

Производная по направлению \frac{\partial u}{\partial l} представляет собой скорость изменения функции в данном направлении.

ПРИМЕР
Задание Найти производную функции z = x^2 + y^2 - xy + 2x + 3y в точке M(-9; -1) в направлении, идущем от этой точки к точке N(4; 5) .
Решение Искомая производная равна:

    \[ 				\frac{\partial z}{\partial l}(M) = \frac{\partial z}{\partial x}(M) \cdot \cos \alpha + \frac{\partial z}{\partial y}(M) \cdot \cos \beta 				\]

где вектор \overline{l} = \overline{MN} = (4 -(-9); 5 -(-1)) = (13; 6) . Направляющие косинусы этого вектора

    \[ 				\cos \alpha = \frac{13}{\sqrt{13^2 + 6^2}} = \frac{13}{\sqrt{205}} \text{ };\text{ } \cos \beta = \frac{6}{\sqrt{13^2 + 6^2}} = \frac{6}{\sqrt{205}} 				\]

Вычислим частные производные первого порядка заданной функции в точке M(-9; -1) :

    \[ 				z'_x = 2x - y + 2 \text{ } \Rightarrow \text{ } z'_x(M) = -18 + 1 + 2 = -15; 				\]

    \[ 				z'_y = 2y - x + 3 \text{ } \Rightarrow \text{ } z'_y(M) = -2 + 9 + 3 = 10 				\]

Тогда

    \[ 				\frac{\partial z}{\partial l}(M) = -15 \cdot \frac{13}{\sqrt{205}} + 10 \cdot \frac{6}{\sqrt{205}} = - \frac{27 \sqrt{205}}{41} 				\]

Ответ

Градиент функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Вектор с координатами \left( \frac{\partial u}{\partial x}; \frac{\partial u}{\partial y}; \frac{\partial u}{\partial z} \right) называется градиентом функции u = f(x; y; z) и обозначается

    \[ 	\overline{\text{grad}} \text{ } u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}; \frac{\partial u}{\partial y}; \frac{\partial u}{\partial z} \right) 	\]

ТЕОРЕМА
Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке).

Градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.

Величина градиента |\overline{\text{grad }} u| = \sqrt{\left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial z} \right)^2} определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f(x; y; z) .

ПРИМЕР
Задание Найти градиент функции u = xyz в точке M(1; 1; 1)
Решение Вычислим градиент заданной функции по формуле

    \[ 				\overline{\text{grad }} u(M) = \left( \frac{\partial u}{\partial x}(M); \frac{\partial u}{\partial y}(M); \frac{\partial u}{\partial z}(M) \right) 				\]

Находим указанные частные производные:

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial x} = yz \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{\partial u}{\partial x}(M) = 1, 				\]

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial y} = xz \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{\partial u}{\partial y}(M) = 1, 				\]

    \[ 				\frac{\partial u}{\partial z} = yx \text{ } \Rightarrow \text{ } \frac{\partial u}{\partial z}(M) = 1, 				\]

Итак,

    \[ 				\overline{\text{grad}} \text{ } u (M) = (1; 1; 1) 				\]

Ответ \overline{\text{grad}} \text{ } u (M) = (1; 1; 1)