Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная параметрической функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Зависимость функции y от аргумента x может осуществляться через посредство третьей переменной t , которая называется параметром. Эта зависимость имеет вид

    \[ 	\begin{cases} 	x = x(t)\\ 	y = y(t) 	\end{cases} , \text{ } a \le t \le b 	\]

В этом случае говорят, что функция y = y(x) задана параметрически.

Первая производная функции, заданной параметрически, задается следующей формулой:

    \[ y'(x) = \frac{y'_t}{x'_t} \]

Вторая производная y''(x) функции, заданной параметрически, находится по формуле:

    \[ y''(x) = \frac{\left( y'(x) \right)'_t}{x'_t} \]

Примеры вычисления производных параметрических функций

ПРИМЕР 1
Задание Найти первую производную функции заданной параметрически

    \[ 				\begin{cases} 				x = t - 2 \\ 				y = t^2 - 4 				\end{cases} 				\]

Решение Согласно формуле, нам надо найти производные функций x(t) = t - 2 и y(t) = t^2 - 4 по переменной t :

    \[ 				x'_t = (t - 2)'_t = (t)'_t - (2)'_t = 1 - 0 = 1 				\]

    \[ 				y'_t = \left( t^2 - 4 \right)'_t = \left( t^2 \right)'_t - (4)'_t = 2t - 0 = 2t 				\]

Тогда искомая производная функции y = y(x)

    \[ 				y'(x) = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{2t}{1} = 2t 				\]

Ответ y'(x) = 2t
ПРИМЕР 2
Задание Найти вторую производную функции, заданной параметрически:

    \[ 				\begin{cases} 				x = \sin t \\ 				y = \cos t 				\end{cases} 				\]

Решение Для того чтобы найти вторую производную y''(x) заданной функции, найдем вначале ее первую производную y'(x) :

    \[ 				y'(x) = \frac{y'_t}{x'_t} 				\]

Найдем производные y'_t и x'_t :

    \[ 				y'_t = (\cos t)'_t = - \sin t 				\]

    \[ 				x'_t = (\sin t)'_t = \cos t 				\]

Тогда первая производная

    \[ 				y'(x) = \frac{- \sin t}{\cos t} = - \text{tg } t 				\]

Вторая производная

    \[ 				y''(x) = \frac{\left( y'(x) \right)'_t}{x'_t} 				\]

то есть

    \[ 				y''(x) = \frac{(- \text{tg } t)'_t}{\cos t} = -\frac{\frac{1}{\cos^2 t}}{\cos t} = -\frac{1}{\cos^3 t} 				\]

Ответ